2000考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设, x x z f xy g y y ⎛⎫
⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，其中,f g 均可微，则z x ∂=∂.
(2)
21
.x x
dx
e e
+∞
-=+⎰
(3) 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111
,,,2345
，
则行列式1.B E --=
(4) 设随机变量X 的概率密度为1[0,1]()29,
[3,6]0x f x x ∈⎧⎪
=∈⎨⎪⎩
其他 若k 使得2
{}3
P X k ≥=
，则k 的取值范围是 (5) 假设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布，随机变量1,00,tcl纯平电视
01,0X Y X X >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
若若若 则方差().D Y =
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且[]lim ()()0x g x x ϕ→∞
-=，则lim ()x f x →∞
( )
(A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.
(C)一定不存在. (D)不一定存在.
(2) 设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是 ( ) (A)()0()0f a f a '==且 (B)()0()0f a f a '=≠且 (C)()0()0f a f a '>>且 (D)()0()0f a f a '<<；且
(3) 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组AX b =的三个解向量，且()3A =秩，()11234T
α=，，，，
()230,123T
αα+=，，，c 表任意常数，则线性方程组AX b =的通解X = ( )
(A)11213141c ⎡⎤⎡⎤
那一次我很受启发
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
(B)10213243c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (C)12233445c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (D)13243546c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(4) 设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组():0I AX =和
():0T II A AX =，必有 ( )
(A)()II 的解是()I 的解，()I 的解也是()II 的解. (B)()II 的解是()I 的解，但()I 的解不是()II 的解. (C)()I 的解不是()II 的解，()II 的解也不是()I 的解. (D)()I 的解是()II 的解，但()II 的解不是()I 的解.
(5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而
(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件( )
(A){}
(1)0T t ≥ (B){}(2)0T t ≥ (C){}(3)0T t ≥ (D){}
(4)0T t ≥
三、(本题满分6分)
求微分方程220x
y y e '''--=满足条件(0)0,(0)1y y '==.
四、(本题满分6分)
计算二重积分
,D
σ，其中D
是由曲线0)y a a =->和直线y x =-围成的区域
五、(本题满分6分)
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 112218,12,P Q P Q =-=-
其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是
25C Q =+，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即12Q Q Q =+
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企
业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.
六、(本题满分7分)
求函数arctan 2
(1)x
y x e π
+=-的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.
七、(本题满分6分)
设40
sin ,0,1,2,
,n
n I xcosxdx n π
=
=⎰
求0
.
n n I ∞
=∑
八、(本题满分6分)
设函数()f x 在[]0,π上连续，且
()0,()cos 0f x dx f x xdx π
π
==⎰
⎰，试证明：在(0,)π
内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分8分)
设向量组，123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,)T T T T
a b c αααβ==-=-=试问,,a b c 满
足什么条件时，
(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ (2)β不能由123,,ααα线性表出？
(3)β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. 十、(本题满分9分)
设有n 元实二次型
222212112223111(,,
,)()()()()n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++
其中(1,2,,)i a i n ==为实数.试问：当12,,,n a a a 满足条件时，二次型12(,,,)
n f x x x 为正定二次型.
十一、(本题满分8分)
假设是来自总体的简单随机样本值.已知ln Y X =服从正态分布(,1)N μ. (1)求X 的数学期望EX (记EX 为b ); (2)求μ的置信度为0.95的置信区间;
(3)利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间.
十二、(本题满分8分)
设,A B 是二随机事件；随机变量
1,1,1,
1,
A B X Y A B ⎧⎧==⎨
⎨
--⎩⎩若出现若出现若不出现
若不出现
胡佩莲
试证明随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.
参考答案
一、填空题 (1)【答案】
1221z y yf f g x y x
∂'''=+-∂ 【详解】根据复合函数的求导公式，有
1221'''z y f y f g x y x ∂⎛⎫
=⋅+⋅+⋅- ⎪∂⎝⎭
(2)【答案】
4e
π
【详解】被积函数的分母中含有2x x e e -+，且当x →+∞时，2x x e e -+→+∞，即被积函数
属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.
2222221
1111x x
x x x x x x
dx
dx e dx de e e e
e e e e
e e
+∞
+∞+∞+∞-===++++⎰
⎰⎰⎰ 2
21
11
1x
x de e
e e +∞
=⎛⎫
中华印刷通史+ ⎪⎝⎭
⎰
2
21
1
1x x e e d e e e e +∞
⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭
+ ⎪⎝⎭
⎰
1
1arctan x e e e
+∞
=1()24e ππ=-4e
π=
(3)【答案】24 【详解】 方法1：A
B A B ⇒、有相同的特征值：1111
2345
.，，，由矩阵1B -是矩阵B 的逆矩阵，他们
所有特征值具有倒数的关系，得1
B -有特征值2345,,,, 由B 特征局矩阵为E B λ-，
1B E --得特征矩阵为()()111E B E E B λλ----=--可以看出B 与1B E --的特
征值相差1 ，所以1
B E --有特征值1234,,,.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知 4
1
1
123424i
i B E .λ
-=-=
=⋅⋅⋅=∏
方法2 ：A
B 即存在可逆阵P ，使得1P AP B -=.两边求逆得111B P A P ---=.又A 有四
个不同的特征值，存在可逆矩阵Q ，使
1Q AQ -=Λ，其中1213
14
15⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥Λ=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
上式两边求逆得 1112345Q A Q ---⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=Λ=Λ=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，111A Q Q ---=Λ 从而有
111111111
2131244151B E P A P E P A E P Q Q E
Q E Q ----------=-=-=Λ-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦
(4)【答案】[]1,3.
【详解】在给定概率密度条件下，有性质{}2
1
12().x x P x X x f x dx <≤=
⎰
因此，
{}()k
P X k f x dx +∞
≥=⎰
(或{}{}11().k
P X k P X k f x dx -∞
≥=-<=-⎰
)
因为[0,1]x ∈时，1
()3f x =；[3,6]x ∈时，2()9f x =
都是定值，因为{}213
P X k ≥=<，所以k 最可能的取值区间是包含在[]0,6区间之内的[]1,3区间，否则是不可能的.
当13k ≤≤时，{}22
环境法学论文()(63).93
k
P X k f x dx +∞
≥=
=⨯-=⎰ (或者，当13k ≤≤时，{}11()(10),33k
P X k f x dx -∞
钢筋混凝土结构预埋件
<==⨯-=⎰
{}{}12
11.33
P X k P X k ≥=-<=-=)
所以，答案应该填13k ≤≤或[]1,3.
(5)【答案】8
.9
豫公网安备41160202000603
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