一、选择题
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ） 分类号
A．①③④ B．①②3④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知：＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：＝1，
∴b＝﹣2a，
∴0＝9a+3b+c，
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，故②正确；
③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，
当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，
即ax2+bx≤a+b，故③正确；
④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）：
∴y1＝y2，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
2．二次函数＝（≠0）图象如图所示，下列结论：①＞0；②＝0；③当≠1时，＞；④＞0；⑤若richtextbox＝，且≠，则＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】
解：抛物线的开口向下，则a＜0；
抛物线的对称轴为x=1，则-=1，b=-2a
∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；
由图像知x=1时 y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=+c不是顶点纵坐标，不是最大值
∴清华同方真爱＞（故③正确）
：b＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc＜0 （故①错误）
由图知：当x=-1时，y＜0；即a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）
⑤若＝得-()=-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1中国女性人体-x2）+b(x1-x美国航天飞机爆炸2)= （x1-x2）[a(x1+x2)+b]= 0
∵≠
KU2000∴a(x1+x2)+b=0
∴x1+x2==2 （故⑤正确）
故选D．
考点：二次函数图像与系数的关系.
3．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．12＜t≤3 B．12＜t＜4 C．12＜t≤4 D．12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.
【详解】
解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，
∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，
∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，
∴－12＜t≤4，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
4．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或4；③；④当时，；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】
由题可知，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为，
故可得，，
故可得
①因为，故①正确；
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