2．5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系． 知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 | 相交 | 相切 | 相离 |
公共点个数 | 2个 | 1个 | 0个 |
判断方法 | 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ | d<r | d＝r | d>r |
代数法： | Δ>0 | Δ＝0 | Δ<0 |
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思考 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”， 判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × )
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ )
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ )
4．过圆外一点的直线与圆相离．( × )
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝ .
当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 (1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
北京市朝阳区环保局答案 A
解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
答案 C
解析 圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，
∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，
∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．
二、圆的弦长问题
例2 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(珍妃之印x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2 ＝.
(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
所以弦心距d＝＝＝3.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，
于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟 直线与圆相交时的弦长求法
几何法 | 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 |
代数法 | 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 |
弦长公式法 | 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ |
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跟踪训练2 求直线l：3x黎曼流形＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解 方法一 由直线l与圆C的方程，
得消去y，得x2－3xGUIPU1＋2＝0.
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(海员培训x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋atp系统x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝
＝
＝
＝.
∴弦AB的长为.
方法二 圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，点C(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长＝＝＝.所以弦长|AB|＝.
三、求圆的切线方程
例3 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
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