笛卡尔乘积一、问题重述
洗衣机是目前普及率较高的家用电器，它给人们生活带来了很大的方便。从洗衣机的类型来看，可以分为波轮式洗衣机、滚筒式洗衣机、搅拌式洗衣机等。各厂商也推出了多种具体方案，设计了不同的几何及运转参数，诸如波轮的外形、内筒的内壁形状、旋转方式和转速等。不同设计方案的净衣效能和对衣物的损伤程度各不相同。为了使洗衣机能尽量提高净衣效能，而且能够尽量减小洗涤过程对衣物的机械损伤。建立合理的数学模型，对典型的家用洗衣机进行优化的设计，请说明其工作方式并请给出关键的几何及运转参数。 二、问题分析
1. 首先要设定洗衣机的净衣效能（洗涤率）及洗衣机对衣物的损伤程度（磨损率）相关的标准，然后收集数据。然后分别对波轮式洗衣机和滚筒式洗衣机的结构和工作原理进行分析，再结合以上数据建立数学模型，对波轮式洗衣机的净衣效能及洗衣机对衣物的损伤程度进行估计。 2.探讨洗衣机新的洗涤方式，提出一种新型“超声波+气泡”洗衣机的创新设计。
三、符号说明
Y磨损率（％）；
P—过滤所得纤维与绒渣的重量 (kg)；
Po—额定负载布（标准洗涤物）的重量。
r—污染布洗涤前的反射率（％）；
Q—原布的反射率（％）。
d—被测洗衣机洗净率（％）：
D—参比洗衣机洗净率。
四、模型假设
4.1问题假设
为了更好地得出相关数据，方便后面建立模型，我们将两种洗衣机进行以下假设：两种洗衣机都处于正常工作状态，没有特殊情况发生；所洗的洗涤物都相差无几；洗涤量在两种洗衣机的正常洗涤范围内；用的都是同一种洗涤剂；洗涤时用的水量都一样；洗涤时间一样；不考虑洗衣机的功率；不考虑洗衣机的漂洗和脱水过程。
4.2实验用洗涤物
在洗涤性能检验时，标准规定必须采用标准人工污染布附在标准负载布上用标准的洗涤剂，按规定的浓度在被测洗衣机中洗涤，因此必须首先制备人工污染布。
制备人工污染布选用的布料最好是生产厂未经漂白印染的棉布半成品（经纬纱为21士2支，原布用光电反射率计或白度仪测定的反射率为86%~92%)，将选好的布料用约1％浓度的肥皂水煮 0.5h左右进行脱浆预处理，再经漂洗后制成240×250mm大小，仔细熨平，在 (105士5)℃的条件下干燥3h，保存在干燥器中待用。制备人工污染布的污染液也有特定的配比要求：
1.牛脂硬化油（工业用）)1.0~1.2g，要求融点在57℃以上，碘值3以下的，皂化值为190～198。
2.液体石蜡（化学纯）3.5~3.7g 。
3.炭黑0.8~1.5g，其颗粒的平均大小为295×10-10m；颗粒的平均表面积为94m2/g。含碳量96％以上。
4.四氯化碳（化学纯）1 000g。
在小烧杯中取牛脂硬化油和液体石蜡，加温溶化，再向其中加入炭黑，用玻璃棒搅拌均匀（搅拌时间不少于10min)，然后倒入烧瓶中，称取四氯化碳，将其三分之二放入烧瓶中，用其余三分之一清洗小烧杯中的剩余物，将清洗液倒入同一烧瓶中，搅拌30min左右，即成污染液。
将配制好的污染液倒入搪瓷盘中，侧斜放置在工作台上，把备好的干燥布料一边的两角分别用夹子夹住，手持夹子让布料从污染液中匀速拖过，然后自然凉干，即成污染布。
将制成的污染布裁成120mm×60mm大小，先用肉眼初步检查污染是否均匀一致，剔除污染不均匀的污染布，再用反射率计（或白度仪）测定污染布的反射率，每块污染布各测四点，各测试点反射率值应在20%~30％范围内。
每批污染布应标明制作日期和原布的反射率值。污染布应保存在干燥器内，并存放在0~5℃阴凉处。污染布制成一周后方可使用，存放期超过三个月者，不能再用。
为保证污染布的质量，制作和测定污染布均应在室温（20士5）℃及相对湿度60％~70％的条件下进行。污染液不能混有其他杂物，使用前应充分搅拌摇匀，并立即使用。
洗涤性能检验用的标准洗涤物的布料与污染布的布料使用相同的布号，将制成的污染布钉缝在标准洗涤物上，即成为实用的检验标准洗涤物。这里钉缝污染布的数量、标准洗涤物的规格与洗衣机的洗涤容量间的搭配有特定的要求，具体可参照有关标准。
软件可靠性4.3标准参比机 检验洗衣机的洗涤性能，要用标准参比机（作为洗涤标准用机）与被测洗衣机进行比较。参比机的性能要求稳定可靠，在与被测洗衣机相同的条件下试验，并且每次测试的洗净率应在35％~50％的范围内，连续使用三次洗净率的误差应不大于2%。
波轮式洗衣机采用波轮式洗衣机作为参比机，滚筒式洗衣机采用滚筒式参比机。
对标准参比机的主要技术参数要求可参照GB 4288标准中的规定。
4.4洗净率和洗净比
4.4.1洗净率
晚清政府标准洗涤物上的人工污染布在洗涤前后的光反射率是不一样的，据此可以定义出以下被测洗衣机洗净率：D=(R-r)/(Q-r)*10% （1-1）
4.4.2洗净比在国家检验标准中虽然规定了污染液的配方和污染布的制作，但由于每次制作时的微小差别，均会造成每批污染布性能的差异。另外，洗涤剂的质量、试验用水硬度的不同等因素都对洗净率有较大的影响，所以单以洗净率的大小来区别不同洗衣机洗净性能的高低可能会发生误判。于是就有了洗净比的概念。洗净比用Ｃ表示，它是被测洗衣机洗净率与参比洗衣机洗净率之比，即：
Ｃ=d/D （1-2）
4..4.3洗净率检验
在做洗净试验时，除半自动和全自动型洗衣机按其使用说明书中规定的标准洗涤程序进行洗涤外，其他被测洗衣机应在额定洗涤状态下进行洗涤，洗涤（试验）时间规定如下：
波轮式洗衣机为l0min（以常用的标准洗涤方式为准），滚筒式洗衣机为10min。
每次洗涤后，需经二次漂洗，每次10min。 取标准洗涤物放入待测洗衣机中，注意将标准洗涤物抖开，逐块放入，并使钉缝污染布的一面朝外。
每次洗净试验后，将污染布从标准洗涤物上拆下不要用手揉搓，自然凉干后，用（150士5)℃的电熨斗熨平，熨平后不应起光泽（熨平时可将污染布放在两块织物之间），熨后用光电反射率计（或白度仪）测定洗净后污染布的反射率。
用光电反射率计（或白度仪）测定污染布洗净前后的反射率时，每一块污染布正反面各测二点，共测四点，取其算术平均值作为洗涤前后每块污染布的反射率值。
测定污染布反射率时，衬底用纸的反射率应与被测的污染布反射率相接近。
同一规格的洗衣机要在相同的条件下至少试验三台。每台洗衣机做三次洗净试验，每次洗净试验后根据污染布洗净前后的反射率计算出该台洗衣机此次洗净率Dr。三次洗净率的算术平均值作为该台洗衣机的洗净率值。
按式（1-1）计算出被测洗衣机与参比机的洗净率后，按式(1-2)得到被测洗衣机的洗净比。
4.5磨损率与磨损率检验
4.5.1磨损率
将额定量负载布在洗衣机里多次连续进行洗涤（一般规定连续洗4h)，过滤磨损下来的绒渣并进行干燥，最后用天平称重，按下式计算规定时间内的洗衣机对负载布的磨损率：
Y=p/P*% （2-1）
4.5.2磨损率检验
在被测洗衣机中放入额定洗涤容量的标准洗涤物，注入经180目／英寸铜丝过滤网过滤过的洗涤液。洗衣机在额定电压、额定频率下运转4h后，用手工逐块将洗涤物漂洗两次（第一次在原洗涤液中进行，第二次在装有洗衣机额定水量的漂洗水的另一容器中进行），并用足够的水对洗涤桶、网盖、管道等进行冲洗，然后将洗涤水、漂洗水和冲洗水用180目／英寸的铜丝过滤网过滤。将铜丝过滤网及收集到的绒毛和洗衣机桶内收集到的绒毛一起放入烤箱内进行烘干，在80℃温度下烘至重量稳定，即以每l0min称重一次，直至相邻两次称得的重量值变化在1％以下为止。称重时所用的衡器采用0.lmg的感量天平。
做磨损试验时的标准洗涤物布料的布号、规格、数量同做洗涤率的要求相同，称重条件也
与洗涤率试验时相同。
做磨损试验时所用标准洗涤物的使用次数是很重要的，否则得到的试验数据就缺乏可比性。为此国标中规定做磨损试验用的标准洗涤物是使用次数为第20次～第30次（每4h为1次）之间的标准洗涤物。若标准洗涤物露出纱线和有明显破损点时，不得使用。
为了确定被测洗衣机的磨损率，应进行三次相同条件的试验，取其最大值作为该被测洗衣机的磨损率。
按式(2-1)试验计算后磨损率数值，国标给出的上限值是：波轮洗衣机0.18%，滚筒式洗衣机0.10%
五、工作原理
5.1波轮式洗衣机
又称波盘式洗衣机，立式洗衣筒，波轮装在筒的底部中心或略偏心处，波轮旋转时产生强烈涡旋，搅动衣物达到洗净目的。
5.2滚筒式洗衣机
又称摆动式洗衣机，为立式圆筒，其中心有一立轴，轴上有3-4片搅拌叶片，通过电机带动做正、反转转动，带动衣物在洗涤液中不断运动，从而达到洗净的目的。
5.3由于两种洗衣机的工作原理大相径庭，以下以波轮式洗衣机为例对洗衣机工作原理进行概括：
5.3.1抽吸作用和渗排循环
在波轮旋转时形成的洗涤液主涡流的抽吸作用下，在洗衣桶底层的衣物先被吸附在波轮附近，后被波轮凸筋排出的快速水流拧挤、压缩并甩开；而洗衣桶上层低速洗涤液冲涤后松散展开，渗进新的洗涤液。这样，衣物不断地受到拧挤和松散，使洗涤剂对衣物上的污垢作用次数增加，从而增强了洗涤剂的渗透、增溶作用。最后，把固体性污垢聚合体分割成极细的微粒，分散悬浮到洗涤液中，把油污加速乳化从衣物纤维上脱离出去。
5.3.2主涡流上下层对洗涤衣物的吸附、拧挤和松散、展开作用，使洗涤剂不断地渗透到衣物纤维中去，并又从衣物内部将污垢排出的这一循环过程，称为“渗透循环”。波轮式洗衣
机的渗透循环作用，是强化洗涤剂去污效果的主要因素。波轮旋转所形成的主涡流强弱情况影响到洗衣机的洗涤性能—洗净率和磨损率，但主涡流过强，抽吸作用太甚，洗涤的衣物将直接与波轮摩擦，这样在提高洗净率的同时会增大磨损率。
5.3.3翻滚和冲涤作用
洗涤衣物除了被主涡流带动旋转外，同时又受到洗衣桶壁阻力和反射涡流的作用而上下翻滚；而这两种作用的联合结果，使洗涤衣物既有“公转”，又有了“自转”，从而大大提高了对衣物的搓洗均匀性。
由于洗涤液涡流场中的洗涤液层间及不同区域之间存在着流速差，它使洗涤液与洗涤衣物的各部分旋转速度不相等，从而产生揉搓和冲涤作用，加速了污垢从衣物纤维上脱离去除。
5.3.4波轮的换向和暂停作用
洗衣机的波轮按“正转—停—反转—停”的程序周而复始地不断循环、换向运转，避免了单向运转时容易引起的洗涤衣物严重缠绕的现象，并可使结成团的衣物能有不同程度的重新
散开，及时更换洗涤位置，达到均匀洗涤的目的。
六、数据收集及处理
6.1根据上述标准，将洗衣机进行洗涤实验，记录实验数据
图1 波轮洗衣机实验数据
实验次数 | 过滤所得纤维与绒渣的量(kg)P | 污染布洗涤后的反射率r | 波轮洗衣机洗净率D | 波轮洗衣机磨损率Y |
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