摘 要:本文将考虑当满足都是n阶方阵，时,如何求的公共特征向量,而且得到所有公共特征向量的求法及相关研究.
关键词: 可换矩阵;特征向量;对角矩阵.
The commutative matrixs public characteristic vector studies
耦合性Li Hui
(Department of Mathematics, Xiaogan University,031114310)
Abstract: This article considered when satisfies AB=BA, how asks A, the B publiccharacteristic vector, moreover obtains A, the B all publiccharacteristics
vector asks the law.
KeyWords: commutative matrixs; characteristic vector; diagonal matrix.
0 引言
在文献[1]中证明了
命题1 若都是复数域上的阶方阵，且，则与至少存在一个公共的特征向量. 对于命题1的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的.
本文将解决如下问题：
在第一部分，对满足的阶复方阵，用新的方法证明了有公共特征向量，该方法的一大优点是，能求出的所有公共特征向量；
在第二部分，对可换矩阵存在公共特征向量所依赖的数域进行了讨论，通过构造反例，修正了文献[2，3]中的疏误；
在第三部分，对可换矩阵的更进一步的结果进行了探讨。
1 可换矩阵的公共特征向量
定理1 若，且，则与一定存在公共的特征向量.
证明 因为，则在复数域上一定存在特征值，取的任一个特征值，考虑的特征子空间 设，则，设为的一组基，则，于是有，.
在下面的证明中，我们将证明存在的属于的一个特征向量，使也是的一个特征向量，即存在某数使成立，从而为与的公共特征向量.
由于为的一组基，设
（1）
由，则，即得，.则有，胡济荣，使得
下步将寻不全为零的，使（1）成立，并且使为与的公共特征向量.
而
由及线性无关，得
（2）
即 ，记，即得，也即
（3）
当时，上式有非0解，此式说明是的特征值.定理1证毕.
定理1证明了与有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在的特征向量.于是有推论：
推论 1 若复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则与至少有个线性无关的公共特征向量。
证明 设是的个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在的每个特征子空间中都存在的特征向量，，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得是与的个线性无关的公共特征向量。
推论 2 若阶复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵，使得与mr.gong都是对角矩阵。
证明 由推论1知与有个线性无关的公共特征向量微核，作矩阵，则与都是对角矩阵。
下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量。
例1 求可换矩阵所有的公共特征向量。
，
解 容易验证，的特征多项式为
.
∴ ， .
对，由染料激光，得，，基础解系为，
而，定理1中的为矩阵，于是，于是公共特征向量为
，为任一不为零的常数
对，由，得，基础解系为，
而，，
定理1中的，，即，
对，，得，于是公共特征向量为http代理，即，为任意不为零的常数。
对，，得，于是公共特征向量为，即，为任意不为零的常数。
于是所有公共特征向量的形式为：
，，
为任意不为零的常数。
2 一个反例
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