《高等代数》教学大纲
课程名称：高等代数
课程编号：
总学时：168
黎丹适用对象：数学系数学与应用数学专业
一、教学目的与任务
1、教学目的：《高等代数》课是数学与应用数学专业必修基础课。通过《高等代数》的学习，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象、严格的代数方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习其它课程打下基础。从而培养合格中学数学教师与各种高级专门人才。 2、教学任务：通过本课程的教学，使学生初步比较系统的掌握高等代数的基本内容，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一
步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。
二、教学基本要求
通过本课程的教学，使学生掌握一元多项式，行列式线性方程组与矩阵，向量空间线性变换，欧氏空间和二次型的有关理论和计算。 三、教学内容及要求
1．掌握集合映射等概念；
2．理解自然数集的一个基本性质——最小数原理，会用最小数原理证明问题，熟练运用两个数学归纳法；
3．理解并掌握整数整除性质及它与除法的区别；
4．对带余除法，最大公因数的存在性能掌握并会应用；
5．对最大公因数的表示及互素有深刻的理解。掌握素数的基本性质；
6．掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
重点：最小数原理，第二数学归纳法原理，整除性理论，最大公因数，素数，数环，数域。
第二章 多项式
1．掌握一元多项式的定义，运算及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；
2．理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；
3．理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法；
4．掌握多项式的互素概念及性质；
5．掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解标准分解式及应用；
6．理解多项式导数的定义，求法及重因式概念，掌握多项式有无重因式的判别法；
7．掌握多项式函数概念及余式定理，理解两个多项式相等与多项式函数相等的区别和关系；
8．掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型。
9．掌握有理数域上多项式的可约性及有理根的求法，理解并掌握高斯引理的证明及应用。
重点：多项式整除，最大公因式，互素，不可约多项式，多项式的值，多项式的根。
第三章 行列式
1．掌握排列、反序、反序数、对换等概念，理解一个对换改变排列的奇偶性；
2．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会计算行列式；
3．掌握余子式和代数余子式的定义，掌握行列式依行（列）展开定理的证明及应用，进而总结出行列式的计算方法；
4．掌握Vandermonde行列式的计算及应用；
5．理解Cramer规则及应用。
重点：排列，反序数，奇排列，偶排列，行列式的定义，余子式和代数余子式，克莱姆法则
第四章 线性方程组
1．理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系；
2．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；
3．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法；
4．掌握线性方程组有解的判定定理及应用；
5．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
6．掌握基础解系概念，会求齐次线性方程组的基础解系；
7．掌握齐次方程组、非齐次方程组解的结构，会用特解及齐次线性方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。
重点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，矩阵的秩，齐次线性方程组，有解判定定理，基础解系。
第五章 矩阵
1．矩阵的加法、数乘、乘法运算及相应运算律；
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2．掌握初等矩阵的定义、初等矩阵与矩阵初等变换的关系；
中国国民党3．掌握可逆矩阵的定义、判别方法及逆矩阵的求法；
4．理解矩阵乘积行列式的求法；
5．理解矩阵分块的意义，分块的方法及分块矩阵的初等变换及分块矩阵的应用。
重点：矩阵的运算，初等矩阵，可逆矩阵，分块矩阵
第六章 向量空间
1．理解向量空间概念及性质；热扎
2．掌握向量线性相关，无关概念，性质及判别方法，理解并掌握替换定理，会灵活运用；
3．掌握子空间的概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念；
4．理解并掌握基和维数的概念，求法及维数定理；
5．掌握向量空间中向量坐标的概念及其意义，过渡阵概念，性质及求法；
6．理解向量空间同构概念，性质及意义，掌握向量空间同构的充要条件；
7．掌握齐次线性方程组解空间。
重点：向量空间，线性相关，线性无关，子空间，子空间的运算，直和，基，维数，坐标，过渡矩阵，同构。
第七章 线性变换
1．掌握线性变换的概念及运算，会求给定线性变换在一组基下的矩阵；
2．理解矩阵相似及其性质；
4．掌握特征根、特征向量、特征多项式概念及特征根、特征向量的求法；
5．掌握不变子空间概念，性质及它与化简矩阵的关系；
6．掌握特征子空间的概念、维数及特征根重数的关系；
7．理解并掌握线性变换及矩阵可以对角化的条件及方法。
重点：线性变换，相似矩阵，特征根，特征向量，特征多项式，不变子空间，矩阵对角化。
第八章 欧氏空间
1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念；
2．掌握Schwarz不等式及应用；
担当者
3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交补的概念及应用；
4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系；
5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。
重点：内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基，正交变换，对称变换。
第九章 二次型
1．掌握二次型及二次型的矩阵的概念及二次型矩阵的求法；
2．掌握矩阵合同的定义及性质；
3．理解二次型的标准型的概念及化为标准型的方法；
4．了解复，实二次型的标准型及分类，理解惯性定律的证明；
5．掌握正定二次型，正定矩阵的概念及判别方法。
重点：二次型，二次型的秩，矩阵的合同，实二次型的标准型，惯性定理，正定二次型，正定矩阵
四、学时分配与教学方式
总学时：168学时
第一章 基本概念 14学时
第二章 多项式 30学时
第三章 行列式 16学时
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第四章 线性方程组 12学时
第五章 矩阵 12学时
第六章 向量空间 28学时
第七章 线性变换 24学时
第八章 欧氏空间 20学时
第九章 二次型 12学时
教学方式：高等代数是数学系的一门基础课，其教学方式应以课堂讲授为主，课后答疑为辅。同时考虑到本课程比较抽象的特点，帮助学生完成部分习题。
五、考核方式
考试
六、本课程与其他课程的关系
高等代数在大学一年级开设，它是是数学系的一门重要的基础课，它的部分内容甚至是所有理工科大学课程的基础。
七、教材与参考书
教材：张禾瑞，郝丙新，《高等代数》（第三版），高等教育出版社，1997年。
教参：北京大学数学系，《高等代数》（第三版），高等教育出版社，1999年。
八、其他需要说明的问题
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站长QQ:729038198
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