高考数学培优资料--抽象函数性质综述（经典教师版）

抽象函数性质综合整理

抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识. 函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.

函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.刘招华

函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.

一、基本定义

1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.

2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.

3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.

二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明

1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；

2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2

a b x +=

新技术新工艺

对称； 3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2

程春晓a b +对称； 4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；

5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2

b a x -=对称； 6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2

b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.

2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2

a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==

∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2

a b x +=对称. 3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2

a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-

∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2

a b +对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++

[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.

5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2

b a x -=的对称点为

00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=

∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2

自动扶梯安全标志

b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2

b a x -=对称. 6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2

b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-

∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2

b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2

b a -对称. 三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论

1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.

2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.

3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.

4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.

5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.

6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.

7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.

8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.

美国qe4

9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.

四、函数周期性与对称性的关系

1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.

迂回运输

2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.

3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数. 略证：

1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-

[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.

2、3同理可证.

五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系

1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满

足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.

2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.

3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.

本文发布于:2024-09-21 12:39:00，感谢您对本站的认可！

本文链接：https://www.17tex.com/xueshu/502395.html

上一篇：payload 参数中的16进制

下一篇：生物柴油背景下原油价格对植物油价格影响分析

标签：函数对称性图象对称性质综合抽象

留言与评论（共有 0 条评论）