２０１４年高考山东理科卷数学第２１题的拓广
湖南省常德市第六中学㊀㊀４１５００３㊀㊀彭世金
㊀㊀
Ｃ于另一点Ｂ，交ｘ轴正半轴于点Ｄ，且有ＦＡ＝ＦＤ．当点Ａ的横坐标为３时，әＡＤＦ是正三角形．（Ⅰ）求Ｃ的方程； （Ⅱ）若直线ｌ１ʊｌ，且ｌ１和Ｃ有且只有一个公共点Ｅ，
（ⅰ）证明直线ＡＥ过定点，并求出定点的坐标；（ⅱ）әＡＢＥ的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 笔者通过研究，发现本题第（Ⅱ）问可拓广到一般情形．
命题㊀已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点
为Ｆ，Ａ为Ｃ上异于原点的任一点，过点Ａ的直线ｌ交Ｃ于另一点Ｂ，交ｘ轴正半轴于点Ｄ，且有ＦＡ＝ＦＤ．若直线ｌ１ʊｌ，且ｌ１和Ｃ有且只有一个公共点
Ｅ，则（ⅰ）直线ＡＥ过定点Ｆ（ｐ
２
，０）；（ⅱ）әＡＢＥ的
面积有最小值，且这个最小值为４ｐ２．
证明㊀（ⅰ）设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０），Ｄ（ｘＤ，
０）（ｘＤ＞０）．由ＦＡ＝ＦＤ，得ｘＤ－ｐ２＝ｘ０＋ｐ２
，由ｘＤ＞０，得ｘＤ＝ｘ０＋ｐ．所以Ｄ（ｘ０＋ｐ，０）．故直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝－
ｙ０
ｐ
．因为直线ｌ１与直线ＡＢ平行，设直线ｌ１的方程为ｙ＝－
ｙ０
ｐ
ｘ＋ｂ，将ｌ１的方程与抛物线Ｃ的方程ｙ２＝２ｐｘ
联立，消去ｘ得ｙ０ｙ２＋２ｐ２ｙ－２ｐ２ｂ＝０．由ｌ１和Ｃ有且只有一个公共点Ｅ，知Δ＝４ｐ４＋
８ｙ０ｐ２
ｂ＝０，得ｂ＝－ｐ２２ｙ０
于娟的忠告
．
设Ｅ（ｘＥ，ｙＥ），则ｙＥ＝－ｐ２ｙ０，ｘＥ＝ｐ３
２ｙ２０
．
当ｙ２０ʂｐ２
时，直线ＡＥ的斜率ｋＡＥ
＝ｙＥ－ｙ０ｘＥ－ｘ０
＝
mapgis6.7２ｐｙ０
ｙ２０
－ｐ２，
直线ＡＥ的方程为ｙ－ｙ０＝
２ｐｙ０
ｙ２０
数值模拟
－ｐ２（ｘ－ｘ０），
由ｙ２０＝２ｐｘ０，将ＡＥ的方程整理得ｙ＝２ｐｙ０
ｙ２０－ｐ２（ｘ
－
ｐ２）．直线ＡＥ过定点Ｆ（ｐ
２，０）．当ｙ２０
＝ｐ２时，直线ＡＥ的方程为ｘ＝ｐ
２盘条
，过定点Ｆ（ｐ
２
，０）．综上可知，直线ＡＥ过定点Ｆ（ｐ
２
，０）．（ⅱ）由（ⅰ）知直线ＡＥ过抛物线Ｃ的焦点
Ｆ（ｐ
２
，０），所以ＡＥ＝ＡＦ＋ＥＦ＝（ｘ０＋
ｐ２
）＋（ｐ３２ｙ２０＋ｐ２）＝ｘ０＋
ｐ３２㊃２ｐｘ０＋ｐ＝ｘ０＋ｐ２
４ｘ０＋ｐ，直线ＡＥ的方程ｘ＝ｍｙ＋ｐ
２
，点Ａ（ｘ０，ｙ０）在ＡＥ上，ｍ＝ｘ０－ｐ２
ｙ０
．
直线ＡＢ：ｙ－ｙ０＝－ｙ０ｐ
（ｘ－ｘ０），由ｙ０ʂ０，可得
ｘ＝－
ｐ
ｙ０
ｙ＋ｐ＋ｘ０，将其代入Ｃ的方程ｙ２＝２ｐｘ，整理得ｙ２
＋２ｐ２
ｙ０
ｙ－２ｐ２－２ｐｘ０＝０．
设Ｂ（ｘ１，ｙ１），则有ｙ０＋ｙ１＝－２ｐ２
ｙ０
，
故ｙ１＝－ｙ０－２ｐ２ｙ０，ｘ１＝
ｐ２
ｘ０＋ｘ０＋２ｐ．点Ｂ到直线ＡＥ的距离
ｄ＝
ｐ２ｘ０＋ｘ０＋２ｐ＋ｍ（ｙ０＋２ｐ２ｙ０）－ｐ２
廉洁修身论文１２＋ｍ２
５
５中学数学杂志㊀２０１４年第７期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀
＝
ｐ２
ｘ０
＋ｘ０＋２ｐ＋ｘ０－ｐ２
ｙ０
㊃（ｙ０＋２ｐ２ｙ０）－
ｐ
２１２
＋（
ｘ０－
ｐ２ｙ０
）
２
＝
２（ｘ０＋ｐ２
）２ｘ０
ｘ０＋
ｐ２２ｐｘ０
＝２
２ｐ（ｘ０＋
ｐ
２ｘ０
）．
于是әＡＢＥ的面积Ｓ＝１２
㊃２
２ｐ（ｘ０＋ｐ２ｘ０
）㊃（ｘ０＋ｐ２
４ｘ０＋ｐ）ȡ１
２
㊃２２ｐ㊃２ｘ０㊃ｐ
２ｘ０㊃（２
ｘ０㊃ｐ２
４ｘ０
＋ｐ）＝４ｐ２
当且仅当ｘ０＝ｐ
２ｘ０
且ｘ０＝ｐ２４ｘ０即ｘ０＝ｐ
２时取
等号，故әＡＢＥ的面积的最小值为４ｐ２．
２０１４年高考山东数学理科卷２１题解法研究
山东省胶州市实验中学㊀㊀２６６３００㊀㊀胡翠霞
㊀㊀
题目㊀已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点
为Ｆ，Ａ为Ｃ上异于原点的任意一点，过点Ａ的直线ｌ
交Ｃ于另一点Ｂ，交ｘ轴的正半轴于点Ｄ，且有｜ＦＡ｜
＝｜ＦＤ｜．当点Ａ的横坐标为３时，әＡＤＦ为正三角形．
（Ⅰ）求Ｃ的方程；
（Ⅱ）若直线ｌ１ʊｌ，且ｌ１和Ｃ有且只有一个公共点Ｅ，
（ⅰ）证明直线ＡＥ过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）әＡＢＥ的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解析（Ⅰ）抛物线Ｃ的方程：ｙ２＝４ｘ；（略）（Ⅱ）（ⅰ）（法一）导数法（与２０１３年山东理科
２２题（３）问导数法一样）：
设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０）㊁Ｄ（ｘＤ，０）（ｘＤ＞０），因为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋２⇒ｋＡＢ＝－
ｙ０２
；
又因为ｙ２()ᶄ＝４ｘ()ᶄ⇒２ｙｙᶄ＝４，所以ｙᶄ＝２
ｙ
⇒ｋＡＢ＝２ｙＥ＝－ｙ０２，所以ｙＥ＝－４ｙ０，ｘＥ＝４ｙ２０
．㊀㊀ＡＥң＝（４ｙ２０
－ｘ０，－４ｙ０－ｙ０）；ＡＦ
ң
＝（１－ｘ０，－ｙ０）满足：ＡＥңʊＡＦң
，所以Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线！
（由对称性及特殊情况 通径 在解答之前就已
经知道答案是（１，０）！
图１
（法二）光学性质＋几
何法（与２０１３年山东理科２２题光学法类似）：
如图１，做ＥＧʊｘ轴，交ＡＢ于Ｇ，由抛物线的光学入射及反射原理知：øＤＡＥ＝
øＡＥＨ＝øＧＥＷ＝øＥＧＡ＝
øＦＤＡ＝øＤＡＦ；所以Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线；
卷诚一郎
（Ⅱ）（ⅱ）（法一）巧用切线转化三角形面积，与２０１４青岛二模２０题类似．
设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０），Ｄ（ｘＤ，０）（ｘＤ＞０），因为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋
２⇒ｋＡＢ＝－ｙ０２
；
又因为ｙ２()ᶄ＝４ｘ()ᶄ⇒２ｙｙᶄ＝４所以ｙᶄ＝２
ｙ
⇒ｋＡＢ＝
２ｙＥ＝－ｙ０２，所以ｙＥ＝－４ｙ０
＝ｙＧ．ｌＡＢ：ｙ－ｙ０＝－ｙ０２（ｘ－ｘ０），即：ｘ＝－２
ｙ０
ｙ＋ｘ０＋２，代入
ｙ２＝４ｘ得：ｙ２＋８ｙ０ｙ－４ｘ０－８＝０⇒ｙ０＋ｙＢ＝－８
ｙ
０
．
如图１：结合ｙＢ＝－ｙ０－８
ｙ０
，不难求得：
Ｈ（－４ｙ２０
，０）＝（－１
ｘ０，０），
６
５㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期
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