＝
ｐ２
ｘ０
＋ｘ０＋２ｐ＋ｘ０－ｐ２
ｙ０
㊃（ｙ０＋２ｐ２ｙ０）－
ｐ
２１２
＋（
ｘ０－
ｐ２ｙ０
）
２
＝
２（ｘ０＋ｐ２
）２ｘ０
ｘ０＋
ｐ２２ｐｘ０
＝２
２ｐ（ｘ０＋
ｐ
２ｘ０
）．
于是әＡＢＥ的面积Ｓ＝１２
㊃２
２ｐ（ｘ０＋ｐ２ｘ０
）㊃（ｘ０＋ｐ２
４ｘ０＋ｐ）ȡ１
２
㊃２２ｐ㊃２ｘ０㊃ｐ
２ｘ０㊃（２
ｘ０㊃ｐ２
４ｘ０
＋ｐ）＝４ｐ２
当且仅当ｘ０＝ｐ
２ｘ０
且ｘ０＝ｐ２４ｘ０即ｘ０＝ｐ
２时取
等号，故әＡＢＥ的面积的最小值为４ｐ２．
２０１４年高考山东数学理科卷２１题解法研究
山东省胶州市实验中学㊀㊀２６６３００㊀㊀胡翠霞
㊀㊀
交Ｃ于另一点Ｂ，交ｘ轴的正半轴于点Ｄ，且有｜ＦＡ｜
＝｜ＦＤ｜．当点Ａ的横坐标为３时，әＡＤＦ为正三角形．
（Ⅰ）求Ｃ的方程；
（Ⅱ）若直线ｌ１ʊｌ，且ｌ１和Ｃ有且只有一个公共点Ｅ，
（ⅰ）证明直线ＡＥ过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）әＡＢＥ的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 解析（Ⅰ）抛物线Ｃ的方程：ｙ２＝４ｘ；（略）（Ⅱ）（ⅰ）（法一）导数法（与２０１３年山东理科
２２题（３）问导数法一样）：
设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０）㊁Ｄ（ｘＤ，０）（ｘＤ＞０），因为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋２⇒ｋＡＢ＝－
ｙ０２
；
又因为ｙ２()ᶄ＝４ｘ()ᶄ⇒２ｙｙᶄ＝４，所以ｙᶄ＝２
ｙ
⇒ｋＡＢ＝２ｙＥ＝－ｙ０２，所以ｙＥ＝－４ｙ０，ｘＥ＝４ｙ２０
．㊀㊀ＡＥң＝（４ｙ２０
－ｘ０，－４ｙ０－ｙ０）；ＡＦ
ң
＝（１－ｘ０，－ｙ０）满足：ＡＥңʊＡＦң
，所以Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线！
（由对称性及特殊情况 通径 在解答之前就已
经知道答案是（１，０）！
图１
何法（与２０１３年山东理科２２题光学法类似）：
如图１，做ＥＧʊｘ轴，交ＡＢ于Ｇ，由抛物线的光学入射及反射原理知：øＤＡＥ＝
øＡＥＨ＝øＧＥＷ＝øＥＧＡ＝
天津烟草网上营销平台øＦＤＡ＝øＤＡＦ；所以Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线；
（Ⅱ）（ⅱ）（法一）巧用切线转化三角形面积，与２０１４青岛二模２０题类似．
设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０），Ｄ（ｘＤ，０）（ｘＤ＞０），因为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋
２⇒ｋＡＢ＝－ｙ０２
；
又因为ｙ２()ᶄ＝４ｘ()ᶄ⇒２ｙｙᶄ＝４所以ｙᶄ＝２
ｙ
⇒ｋＡＢ＝
２ｙＥ＝－ｙ０２，所以ｙＥ＝－４ｙ０
＝ｙＧ．ｌＡＢ：ｙ－ｙ０＝－ｙ０２（ｘ－ｘ０），即：ｘ＝－２
ｙ０
ｙ＋ｘ０＋２，代入
王劲屹
ｙ２＝４ｘ得：ｙ２＋８ｙ０ｙ－４ｘ０－８＝０⇒ｙ０＋ｙＢ＝－８
ｙ
０
王德彬．
如图１：结合ｙＢ＝－ｙ０－８
ｙ０
，不难求得：
Ｈ（－４ｙ２０
，０）＝（－１
ｘ０，０），
６
５㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期
ＳәＡＢＥ＝１
２
ＨＤｙ０－ｙＢ
＝１
２
ｘ０＋１ｘ０＋２ｙ０＋ｙ０＋
８ｙ０
㊀㊀＝
１
２
ｘ０＋１ｘ０＋２２ｙ０＋８ｙ０ȡ１６．㊀㊀
当且仅当ｘ０＝１且ｙ０＝ʃ２时取等号．
常熟地震
（Ⅱ）（ⅱ）（法二）光学原理＋几何性质．
做ＥＧʊｘ轴，交ＡＢ于Ｇ，由抛物线的光学入射及反射原理知：
设Ａ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ｙ０ʂ０）㊁Ｄ（ｘＤ，０）（ｘＤ＞０），因为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋２⇒ｋＡＢ＝－
ｙ０２
；
又因为ｙ２
()ᶄ＝４ｘ()ᶄ⇒２ｙｙᶄ＝４所以ｙᶄ＝２
ｙ
⇒ｋＡＢ＝
２ｙＥ＝－ｙ０２，所以ｙＥ＝－４
ｙ０
＝ｙＧ．又因为ｋＡＢ＝ｙ０－ｙＢｘ０－ｘＢ＝ｙ０－ｙＢｙ２０４－ｙ２
Ｂ４
＝４
ｙ０＋ｙＢ
＝－ｙ０２＝２
ｙＧ⇒ｙＧ＝ｙ０＋ｙＢ２⇒Ｇ为ＡＢ中点．所以ＳәＡＢＥ＝２ＳәＡＧＥ＝ＡＥ
ＧＥｓｉｎθ＝ＡＥ２ｓｉｎθ＝
４ｓｉｎ２
θæèçö
ø
÷２
ｓｉｎθ＝１６ｓｉｎ３θȡ１６，㊀㊀等号当且仅当θ＝９０ʎ，即ＡＥ斜率不存在时取
得．其中，焦点弦公式ＡＥ＝２ｐ
ｓｉｎ２θ
，θ为直线ＡＥ的倾斜角．
２０１４年高考山东数学文科卷２１题的探究
山东梁山县第一中学㊀㊀２７２６００㊀㊀王㊀敏
㊀㊀题目㊀在平面直角坐标系中，椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝
１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为３
２
，直线ｙ＝ｘ被椭圆Ｃ截得的线段长为
４１０
５
．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ，
Ｂ不是椭圆Ｃ的顶点），点Ｄ在椭圆Ｃ上，且ＡＤʅＡＢ，直线ＢＤ与ｘ轴㊁ｙ轴分别交于Ｍ，Ｎ两点，（ⅰ）设直线ＢＤ，ＡＭ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，证明存在常数λ使得ｋ１＝λｋ２，并求出λ的值；
（ⅱ）求әＯＭＮ面积最大值．
通过探究，可以将本题的结果推广到更一般情形．
定理㊀椭圆Ｃ：
ｘ２
ａ
２
＋ｙ２ｂ
２
＝１（ａ＞ｂ＞０），过原点
的直线与椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ，Ｂ不是椭圆Ｃ的顶点），点Ｄ在椭圆Ｃ上，且ＡＤʅＡＢ，直线ＢＤ与ｘ轴，ｙ轴分别交于Ｍ，Ｎ两点，（１）设直线ＢＤ，ＡＭ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，则存在常数λ＝１－２ｅ２，使得ｋ１＝
λｋ２；（２）三角形ＯＭＮ面积的最大值是ｃ４
４ａｂ．
证明㊀设Ａ（ｘ１，ｙ１）（ｘ１ｙ１ʂ０），Ｄ（ｘ２，ｙ２），则有
Ｂ（－ｘ１，－ｙ１）．直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１ｘ１
，由ＡＤʅＡＢ，
知直线ＡＤ的斜率ｋ＝－ｘ１ｙ１
．
设直线ＡＤ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，由条件知ｋʂ０，
ｍʂ０．
联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ìî
íïïïï消去ｙ，整理得（ａ２ｋ２＋ｂ２）ｘ２
＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０．
有ｘ１＋ｘ２＝－２ａ２ｋｍ
ａ２ｋ２＋ｂ２
，兴宁市技工学校
ｙ１＋ｙ２＝ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋２ｍ＝２ｍｂ２
ａ２ｋ２＋ｂ２
．
由条件知ｘ１ʂ－ｘ２，ｋ１＝
ｙ１＋ｙ２
3DAVｘ１＋ｘ２＝－ｂ２
ａ２ｋ＝ｂ２ｙ１ａ２ｘ１
，则直线ＢＤ的方程为ｙ＋ｙ１＝
ｂ２ｙ１
ａ２ｘ１（ｘ＋ｘ１），
７
５中学数学杂志㊀２０１４年第７期㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀
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