2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2016年山东，理1，5分】若复数满足，其中为虚数为单位，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】设，则，所以，故选B．
（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，，所以，故选C．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D
【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为，
所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是人，故选D．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目． （4）【2016年山东，理4，5分】若变量，满足，则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】由是点到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点，
所以是最优解，的最大值是10，故选C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． （5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该
几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由三视图可知，半球的体积为，四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，
故选C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状
是解答的关键．
（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线分别在两个不同的平面，云梯杰克逊内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相
交，直线和直线不一定相交，故选A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．
（7）【2016年山东，理7，5分】函数的最小正周期是（ ）
（A） （B） （C）氨基酸态氮 （D）
【答案】B
【解析】由，所以，最小正周期是，故选B．
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量满足 ，若则实数的值为（ ）
（A）土壤电阻率4 （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为，由，有2013年东亚四强赛，即，，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）
（A） （B） （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】由，知当时，的周期为1，所以．又当时，
，所以．于是，故选D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
（10）【2016年山东，理10，5分】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数具有性质的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为函数，的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质，故选A．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出的
值为 ．
【答案】3
【解析】时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，
不成立；时，执行循环体后，成立；所以，故填 3.
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进
行解答．
（12）【2016年山东，理12，5分】若的展开式中的系数是，则实数 ．
【答案】
【解析】由，得，所以应填．
【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．
（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 ．
【答案】2
【解析】由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得，
在由得的离心率为．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
（14）【2016年山东，理14，5分】在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为 ．
【答案】
【解析】首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，得事件发生时的取值空间为，其长度为，所以所求概率为．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数，其中凤凰卫星电视，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为的对称轴为，所以时单调递增，只要大于的最小值时，关于的方程在时有一根；又在，时，存在实数，使方程在时有两个根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2016年山东，理16，12分】在中，角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
解：（1）由得，，
由正弦定理，得．
（2）由．所以的最小值为．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式的应用，不等式的性质．
（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底
面圆的直径，是圆台的一条母线．
（1）已知分别为的中点，求证：平面；
（2）已知，求二面角的余弦值．
解：（1）连结，取的中点，连结，因为，在上底面内，不
在上底面内，所以上底面，所以平面；又因为，平
面，平面，所以平面；所以平面平面，
由平面，所以平面．
（2）连结，，以为原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系．，，
于是有，，，，可得平面中的向量，
，于是得平面的一个法向量为，又平面的
一个法向量为，设二面角为，
则．二面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认
真审题，注意向量法的合理运用．
（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列的前项和，是等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令．求数列的前项和．
解：（1）因为数列的前项和，所以，当时，
，又对也成立，所以．
又因为是等差数列，设公差为，则．当时，；当时，
，解得，所以数列的通项公式为．
（2）由，于是，
两边同乘以２，得，两式相减，得
．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望．
解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件；
“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件，则；
．所以．
（2）“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是
；；
；；
；；
的分布列为：
的数学期望．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
（20）【2016年山东，理20，13分】已知．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明对于任意的成立．
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