2003年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
LED光柱三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
其中、分别表示
上、下底面周长，表示斜高或母线长.
球体的体积公式： ，其中R
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
A． B． C． D．
2．圆锥曲线的准线方程是 （ ）
A． B． C． D．
3．设函数，若，则的取值范围是 （ ）
A．（，1） B．（，）
C．（，）（0，） D．（，葵花籽饼）（1，）
4．函数的最大值为 （ ）
A． B． C． D．2
5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则 （ ）
A．1 B． C． D．
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
9．函数，的反函数 （ ）
A． ，1] B． ，1]
C． ，1] D． ，1]
10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是 （ ）
A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，）
11． （ ）
A．3 B． C． D．6
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上
13．的展开式中系数是
14．使成立的的取值范围是
15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着，要求相邻地区不得使用同一颜，现有4种颜可供选择，则不同的着方法共有 种（以数字作答）
16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
① ② ③ ④ ⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（Ⅰ）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（Ⅱ）求点到平面AED的距离
19．（本小题满分12分）
已知，设
P：函数在R上单调递减
Q：不等式的解集为R
如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）
已知常数，在矩形ABCD中，，挂壁式电视，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）
（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…
将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
⑵求
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.
2003年普通高等学校招生全国统一考试
答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分套管针灸刀16分.
13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． 解：设，则复数由题设
18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）解：
19．解：函数在R上单调递减
不等式
（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
吴新谋由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）
直线OF的方程为： ①
直线GE的方程为： ②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长
当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值
当张左已逝世时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2.
22．（本小题满分12分，附加题4分）
（Ⅰ）解：用表示，下表的规律为
（i）第四行
第五行
（i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以(8,14)＝＝16640
解法二：设，只须确定正整数
数列中小于的项构成的子集为
其元素个数为
满足等式的最大整数为14，所以取
因为100－
（Ⅱ）解：
令
因
现在求M的元素个数：
其元素个数为：
某元素个数为
某元素个数为
另法：规定（r,t,s），＝（3,7,10）
则＝ （0,1,2）
依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3）
（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4）
…………
（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ） （7,8,9）
（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… +4
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