1 问题的提出
一个有障碍物的平面场景（图1所示）中有一个机器人在区域内活动，障碍物（表1所示）外指定一点为机器人要到达的目标点。机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。
2 需要解决的问题
建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最
短时间路径的数学模型。对场景图中，具体计算：机器人从出发，的最短路径。2）机器人从O出发，到达A的最短时间路径。
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3 模型分析及建模思路
1）行走路线与最短路径：机器人从起点到终点由于障碍物不同会有多种不同路线，在同一路线中则存在唯一的最短路径。基于“拉线原理”可寻得最短路径。“拉线原理”：从起点到终点沿行走路线拉一根线，此线被障碍区域阻隔，当将线拉紧时，起点到终点的线长即为该行走路线的唯一最短路径。
2）单障碍与多障碍：当起点与终点之间只有一个障碍时称单障碍模型，此时便有两条行走路线，可分别根据“拉线原理”得到相应最短路径再进行比较，即可得最短路径。当起点与终点之间超过一个障碍时称多障碍模型，选择恰当的划分方法，依据
“拉线原理”可将多障碍模型进行划分成由多个单障碍模型连接组成。
董书民3）折线转向与圆弧转弯：从起点（或终点）面向障碍物的视野有两个边界，“拉线原理”在边界点处，存在折线转向与圆弧转弯两种情况。由于机器人行走的限制，必须对视野边界点进行圆弧化处理后再应用“拉线原理”。按模型要求，在边界点为圆心，为半径画圆作为障碍区域新边界，再应用“拉线原理”可得本模型最短路径。
4）考虑到机器人转弯速度因素，当转弯半径越小时，行走速度会越小，可在转弯圆弧中点处做一条切线，以此切线切点为准的公共切线圆作为转弯圆弧，应用“拉线原理”求得最短时间路径。
4 模型建立
4.1 单障碍最短路径模型
设机器人行走起点与目标终点之间存在一个障碍，以O为圆心，为半径作圆，按照“拉线原理”，所求路线中最短路径满足利用程序求解得：，此模型是解决机器人避障模型的基本单元。
4.2 多障碍最短路径模型
由于机器人行走起点与目标终点有多个障碍区域（或单个复杂区域），造成视野边界点无法同时看到起点与中点，假设机器人从起点到目标点可划分为n个单障碍模型基本单元（i=1，
2，……n）。那么目标函数可以表示为：
用此模型就可以对起点到目标点之间的路径进行优化求解。
4.3 给定场景下最短路径模型求解
应用“拉线原理”，计算各个路线的最短路径相互比较可得最优行走路线以及最短路径。知的最优行走路线为，最短路径；的最优行走路线最短路径；
4.4 最短时间路径模型求解
根据单障碍最短路径模型，可得：
5 模型评价与改进第一批异体字整理表
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模型优点：运用多方案对路径进行优化，从简到繁，取得最优解；模型优化后用几何图形结合计算机
数学软件进行求解，精确度较高；通过软件模型进行绘图，简单易懂，便于实际检验及应用。
模型缺陷：在障碍物较多时，且形状不规则时，模型需要进一步改进。钙离子拮抗剂
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