1.变分法
1.1.变分法起源
变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。[1]
变分法是处理泛函
的数学
领域，和处理函数的普通微积分
相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点
。在寻函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。[2]
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。
1.2变分问题类型
固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。[3]
（1）古典变分问题举例
例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。设A、B是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接A、B两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A到B沿该曲线运动时所需时间最短。
解：以A为原点建立平面指标坐标系，设B点的坐标，曲线方程设为，，且满足端点条件，。
设为曲线上任意一点，由能量守恒定律得
则
又
所需时间为
曹仁伟
例2 短程线（测地线：Geodesic）问题：光滑曲面f(x,y,z)=0上给定和两点，求连接这两点的一条最短曲线。
解：连接这两点的曲线方程为
则其满足
（1）
长度为 （2-1-2）
短程线问题即求（2-1-2）在约束条件（2）下的最小值问题—条件最小值问题。
例3 等周问题：在平面上给定长度为L的所有不相交的光滑封闭曲线中，求出一条能围成最大面积的曲线。
解：设封闭曲线的参数方程为
（1）
中式，连续可微，且其长度为
高频整流器 （2）
所围成的面积为
（3）
等周问题就是在满足等周条件（2）的所有曲线（1）中，求使积分（3）取得最大值的曲线。
（2）最简泛函的变分问题求解
设函数的极值曲线一端固定，另一端在直线上移动，则另一端必满足自然边界条件
若极值曲线的端点在已知曲线上移动，则变分与有关。
若设函数的极值曲线左端固定，另一端在已知曲线上移动，则另一端在直线处必满足
[4]
例4st托普：求泛函极值问题的自然边界条件。其中和均为自由边界，、和均为已知函数，且。
解：因为和均为自由边界，根据上述定理，故自然边界条件为
，
由于，故自然边界条件可化为
，
（3） 条件极值的变分问题
例5：试求泛函的最小值。这里满足端点，
，，。
解：引入两个变量，，令，于是泛函变为
（1）
约束条件为
（2）
天堂419草坪做辅助函数
（3）
泛函（3）的欧拉方程组为
即 （4）
由式（4）得
积分得
式中是积分常数，因为，故
于是有
最后求得最小值为
1.3应用
物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
P.de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原
理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q冰刃怎么用1,q2,…qn动能T是 q=(q1,q2,…,qn)的函数,q表示广义速度。他又假定力有位势V，V是q的函数,又假定T+V是常量,即系统无耗散,令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。
2.直接法
2.1直接发的概念
各种变分法的最后求解都可归结为解欧拉方程的边值问题。然而在一些特殊情况之下欧拉方程才能求出精确解，在大多数情况下，欧拉方程的精确解无法求出，因此需要另外的求解方法。1990年8月，第二届国际数学家代表大会在巴黎举行，希尔伯特在会上作了“数学问题”的报告，提出了23个重大数学问题，其中最后一个问题就是关于变分法的直接问题。
变分法的直接方法是指不通过求解欧拉方程而直接从泛函出发，求出使泛函取得极值的近似表达式。
变分法的近似解法有有限差分法、里茨法、坎托罗维奇法、伽辽金法、最小二乘法、配置法和分区平均法等。
2.2伽辽金法
伽辽金法是俄国工程师伽辽金于1915年提出来的，它属于加权余量法，是解算子方程的一种近似计算方法，也称为加权残数法或加权残值法。
1. 基本原理
设算子方程及边界条件分别为
(1)
(2)
式中，为待求的点的函数，和分别为域内上和边界上的算子；和分别为定义在域内和边界上不含产权比率的已知函数。[5]
一般情况下，方程（1）、方程（2）较难求得精确解，所以方程（1）的近似解为
（3）
其中是近似解函数， 为待定参数，是基函数。由于（3）式中是近似解，将其代入微分方程（1）和边界条件中，一般来说不会精确满足，（1）和（2）将产生残余值和，它们分别为域内残值和边界残值，均简称为残值、残差、残数或余量，即
（4）
（5）
显然如果式（4）、式（5）中的为精确解，则余量和应等于零。
加权残数法的基本思想是：适当的选择两个函数和，他们分别称为域内权函数和边界权函数，均简称为权函数，是的残值和与其相应的权函数的乘积在某种意义上等于零，即可令余量与加权的内积满足正交条件：
(6a)
(5b)
式中和分别域内内积和边界内积，均简称为内积。
如果恰当的选择近似函数，使其满足边界条件（2），则方程（6a）就退化为
（7）
此时（7）为加权残数法的内部法。
如果近似函数满足算子方程（1），则内积（6b）就退化为
（8）
此时（8）为加权残数法的边界法。
如果近似函数既不满足算子方程（1）也不满足边界条件（2）必须同时应用式（6a）和（6b）消除残余值，则其称为加权残数法的混合法。
将近似解（3）代入式（6a）中并选择n个权函数，可建立以为未知量的方程组
求解上面代数方程组，可得到参数，代回到式（3），便得到（1）式。
权函数空间
从上述加权残值法的基本原理的叙述可见，加权残值法的应用可按三个步骤进行 [6]
（1） 选取试函数；
（2） 代入算子方程求出残值表达式；
（3） 选取权函数，做残值表达式与权函数的内积，并令其正交以消除残值。
2.算例
1：用伽辽金法求边值问题，，。
解：取函数坐标系为
取前两项，则近似解为
于是，有
伽辽金法方程组为
解之可得
，
于是，所求近似解为
算例2：用伽辽金法求边值问题
(1)
的第一、第二次近似解。其中，为矩形域的边界，为常数。
解：注意到待求解的问题关于、对称，选取坐标函数系为
因要求第一、第二次近似解，古取满足边界条件的坐标函数
求第一次近似解。令
将上式代入伽辽金方程，注意到被积函数均是偶函数，得
消除积分号前的系数4，伽辽金方程可简化为
积分，得
约去公因子，并解出，得
于是，得到所给边值问题的第一次近似解为
（2）
求第二次近似解，令
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