---何鹏举 2009-12-20
一、 概述
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace澳门科技大学2020年本科招生
以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy第六套幼儿广播体操
空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法，多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、视窗江新蓉Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技资讯产业领网域取得了令人瞩目的成就。 电子资讯技术是六大高新技术中重要的一个领网域，它的重要方面是影像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与影像处理可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对於其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用於非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上小波分析的应用领网域十分广泛，它包括：数学领网域的许多学科；信号分析、影像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；电脑分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例
hca如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在影像处理方面的影像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高解析度等。
二、 论述
1、 Fourier变换 历史（FT、FS、FFT、STFT）
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
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FT是傅立叶变换，其定义如下：
一回说到，根据傅立叶积分定理可知，若任意函数f（t）只要满足傅立叶积分定理的条件，则在其连续点处，函数f（t）可用傅立叶积分表示为
（1）
现在如果我们令
（2）
则傅立叶积分可表示为
（3）
可见函数f（t）和F（ω）可以通过上述两式互相表达。
数学上称式F（ω）为函数f（t）的傅立叶积分变换，记为
（4）
函数F（ω）称为f（t）的像函数；
称式f（t）为F（ω）的傅立叶逆变换，记为
（5）
函数f（t）称为F（ω）的像原函数。
这就是著名的数学法宝――傅立叶变换（FT）的定义
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FS是傅立叶级数，公式如下：
给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：
（i为虚数单位）（1）
其中，ak可以按下式计算：
（2）
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FFT是快速傅立叶变换，并不是一种新的傅立叶分析理论，而是减少DFT计算量的算法设计思想和DFT各种快速算法的统称。FFT算法设计的基本思想，就是充分利用DFT的周期性和对称性，减少重复的计算量；并把N点长序列分成几个短序列，减少每个序列长度，可大大减少计算量。
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STFT是短时傅立叶变换，短时傅里叶变换（STFT）其窗口函数 通过函数时间轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言，需要时频窗口具有可调的性质，即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此特引入窗口函数 ，并定义变换 。其中，a R且a≠0。该式定义了连续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。
2、 Haar小波
哈尔基函数
a) 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，如用基函数的加权和表示
b) 哈尔基函数(Haar basis function)
i. 定义在半开区间[0，1)上的一组分段常值函数(piecewise-constant function)集
ii. 生成矢量空间V0的常值函数
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为了表示矢量空间中的矢量，每一个矢量空间都需要定义一个基(basis)，哈尔基定义为
为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数(scaling function)。哈尔基尺度函数定义为
其中，j为尺度因子，使函数图形缩小或放大
i为平移参数，使函数沿x轴方向平移
哈尔小波（函数）
最古老和最简单的小波，定义为
生成矢量空间W0的哈尔小波
生成矢量空间W1的哈尔小波
此外还有生成矢量空间W2,W3的哈尔小波等
3、 多分辨率分析
概念： 倘若一个信号具有变化速度差异大的区段，像是信号快速变化的区段穿插著变化平缓的区段，则上述单一分辨率将不适用于分析信号。因此，多重分辨率分析的概念因此而生。将信号在不同分辨率上分析。
定义：
令为在函数空间L2(R)里的子空间的数列，假如
分簇性(nested)：荐股英雄榜
稠密性(density)：
分离性(seperation)：
调节性(scaling)：
正规正交基底(orthonormal basis)：且集合为V0的一正规正交基底。
则为带有调整函数φ的多分辨率分析。
4、 效率（滤波、提取、数据压缩、编译）
三、 读书专题 自述
Ⅰ、Haar小波 建立、意义、分析、重构
Haar小波的建立
分解：
重构：
Ⅱ、读书体会、理解
经过这学期在唐老师的讲述下，知道了最新的小波理论的存在及简单的了解了小波理论的内容，但由于目前数学知识准备的不充分及时间的有限性，很难去理解这些东西。难到不是很难，就是数学工具的庞多与公式的长度使人望而生畏。记得第一节课老师讲述东西方
音乐及哲学的差异性，傅立叶的故事，及从理论分析音乐的令人惊叹性，感觉这是多么的奇妙。而后来用到了太多的不懂的理论，逐渐迷糊起来。当线性代数刚讲到内积时突然想到这是小波理论第一次纯理论课时就讲到的，心里好寒。中国的确需要这种科学，这种能够踏实研究的人才，上海理工大学也需要这门课。可是真的对于一个刚刚上到大二的学生来说，很难于理解，还有那么多的课程，那么多的活动。不知道这是人生的悲哀还是什么，仿佛路边有许多金灿灿的黄金（知识），自己却总由于很多现实的无奈而放弃。
四、 例子总结
以上简单的叙述了一下小波理论中的一些内容，从傅立叶的四种变换（FT、FS、FFT、STFT）开始阐述，到Haar小波的一些定义分析，再到多分辨率的分析，最后简述了一下效率问题。
五、 索引（参考文献）
小波与傅立叶分析基础
小波与小波变换ppt（林福宗）
百度百科之傅立叶变换历史及傅里叶变换
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