第3卷第4期 信息与电子工程Vo1．3，No．4 2005年12月 INFORMATION AND ELECTRONIC ENGINEERING Dec．，2005
刘丽1,2 ，王曙钊2 ，李敬社2
（1.空军工程大学导弹学院，陕西三原 713800；2.空军工程大学理学院，陕西西安 710051）
摘 要：简述了脊波变换的产生和发展，着重介绍了脊波变换理论及其在图像信号的奇异性分析中的应用，分析了现代信号处理中几种变换的优缺点及各自适用的范围，总结了脊波变换目 前研究的主要问题，给出了这一领域研究发展的方向。
关键词：信息处理技术；脊波变换；综述；奇异性分析；小波分析；图像信号 中图分类号：TN911.73 文献标识码：A 文章编号：1672-2892 (2005)04-0315-05
Advancement and Perspective of the Ridgelet Transform
有源噪声控制
LIU Li1,2，WANG Shu-zhao2，LI Jing-she2
（1.The Missile Institute，Air Force Engineering University，Sanyuan 713800，China；
2. The Science Institute，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）应激反应
Abstract: The origination and development of Ridgelet transform are simply narrated．Theories of Ridgelet transform are focused on．Their applications to anisotropic analysis of image processing are mentioned. The merits and
shortcomings of several transform in the modern signal processing are analyzed．And their applications are
discussed．The state of arts of Ridgelet is treated．The application foregrounds of the Ridgelet and the related research
areas are pointed out．
Key words: information processing technology；Ridgelet transform；survey；anisotropic analysis；wavelet analysis；
image signal
1 引言
小波分析是继傅里叶分析之后的一个飞跃，它给许多相关领域带来了新思想，提供了有力工具。实践的需要推动了小波分析的进一步发展，多尺度分析和奇异性分析不断有新的进展，脊波(Ridgelet)就是近年来研究的最新成果。脊波分析的发展推动着许多其它学科和相关领域的发展，也使得其本身具有多学科相互结合、相互渗透的特点。脊波的新理论、新方法及新应用的研究探讨非常活跃。
2 脊波变换的产生
信号处理的经典方法是傅里叶变换。傅里叶变换将信号分解为一组正交三角函数的加权组合，是以三角级数为正交基。三角级数对刻画信号的奇异性特征效果不佳，故傅里叶分析只适用于处理确定性的平稳信号。
小波变换是以“小波基”函数作为正交函数基。这种函数基既克服了傅里叶分析中三角族发散的问题，又具有多分辨率分析的特点。小波分析能有效地从信号中提取所需信息，适合于处理非平稳信号。
小波对于具有点状奇异性的目标函数表示是最优的，而自然图像一般并不是简单的一维的相互分离点的组合，不连续的点（如边缘）是目标物体的一个显著特点。边缘是图像具有奇异性的地方，通过边缘，可以到目标图像的广度，进而提取目标的位置、形状、朝向等信
Radon变换
收稿日期：2005-06-24；修回日期：2005-09-09
基金项目：空军工程大学学术研究基金（KGD2002X16）
316 信 息 与 电 子 工 程 第3卷 出了以脊波变换为代表的新变换，它们能够充分考虑图像边缘的方向性和奇异性[1]，可以有效处理在高维情况下的线状奇异性。
脊波变换的核心主要是经过Radon 变换把线状奇异性变换成点状奇异性，小波变换能有效地处理在Radon
域的点状奇异性[2]。脊波变换流程如图1所示。所取的空间是连续的R 2空间（二维实数空间）。
3 脊波变换理论
3.1 二维连续脊波变换
令:ψℜ→ℜ满足条件： 2
2ˆ()/||d ψξξξ<∞∫ (1) 式中，ψ为允许神经激活函数。由ψ产生的脊函数,,a b θψ为脊波：
,,()a b θψx 1212((cos sin ))a x x b a ψθθ−=+− (0,,[0,2)a b R θ>∈∈π) (2)
式中，x 是二维向量，a 为脊波的尺度，b 为脊波的位置，θ为脊波的方向。
二维连续脊波变换(Continuous Ridgelet Transform ，CRT)在R 2域的定义：
,,(,,)()()d f a b a b f θθψℜ=∫x x x (3)
反变换公式： 2,,300d d ()(,,)()
d 4θθθψπ∞∞−∞=ℜπ
∫∫∫f a b a f a b b a x x (4) 尺度/空间/方向域经此变换后比对应的参数域更加精确。显然，同小波变换一样，脊波变换也是一种线性运算，它把一个信号分解成不同尺度处的各个方向上的分量。
当满足条件(,)[0,2)t R θ∈π×，双变量函数f 的Radon 变换可表示为： 121212(,)(,)(cos sin )d d f R t f x x x x t x x θδθθ=+−∫ (5)
脊波变换是Radon 变换面上一维小波变换的应用。
,CRT (,,)()(,)d f a b f R
a b t R t t θψθ=∫ (6) (cos ,sin )e (,)d ξξθξθθ−=∫j t f f R
峡江县
F R t t (7)
若令函数)(x f 的脊波变换为()(),R f f γγψ=，目标函数f 的Ridgelet 系数可由下式计算：
1(,,)(,)(())d f f a b R t a t b t θθψ−ℜ=−∫ (8)
因此，脊波分析等效于目标函数的Radon 变换域的小波分析，即计算Ridgelet 系数的一个基本的工具是在Radon 域中以小波分析的形式分析Ridgelet ，其中，t 是变量，θ是常数[3]。
3.2 脊波变换与小波变换的关系
()f x 在R 2域的二维连续小波变换(Continuous Wavelet Transform ，CWT)的定义式：
21212
1212,,,CWT (,,,)()()d ψ=∫f a a b b R a a b b f x x x (9)
二维小波： 12121122
,,,,1,2()()()a a b b a b a b x x ψψψ=x (10) 一维小波： 12,()(())a b t a t b ψψ−=− (11) 从以上关系式可见，脊波变换和二维小波变换有相似之处，只是用线参数(,)b θ取代了点参数12(,)b b 。也就是说，这两个多尺度变换是有联系的：Wavelets:→scale,point-position ψ；Ridgelets:→scale,line-position ψ
在二维情况下，点和线可通过Radon 变换相联系，所以脊波变换和小波变换也可通过Radon 变换联系起来。脊波分析是以在Radon 域的小波分析为基础形成的[4]，即线状奇异性的脊波分析可用点状奇异性的小波分析来完成，而小波能很好地处理点状的奇异性，因此脊波在处理线性(特别是直线型)奇异性时表现出了良好的性能。脊波分析从小波分析中借鉴局部化的思想，它在超平面附近对所有可能的位置和方向都具有良好的脊波
尺度的集中性[5]。
3.3 离散脊波变换
3.3.1 二进小波变换
设)(t ψ是满足允许性条件的一个连续小波，对其时域进行二进制离散，称之为二进小波变换[6]。信号的
第4期 刘 丽等：脊波变换的研究现状与应用前景 317 奇异性及在该点的奇异性大小可以由信号的二进小波变换在该点的值随尺度参数变换的趋势而确定，即当尺度参数趋于零时，奇异点所对应的小波变换值将是局部最大值。因而可以通过信号的二进小波变换测定信号的奇异性的大小和位置。
3.3.2二维离散脊波变换
设()x φ为尺度函数，()x ψ为相应的二进小波，在时间t 处进行离散化，并使1t ∆=，则数字信号(长度为p )的二进小波为： 22
()()j j W f n f n ψ=∗ (12) 式中，{1,2,}n p ∈K ，21,2,,log j p =K 。 设()x ψψ=−，则：
222,()(),j j j n W f n f n f ψψ=∗= (13) 式中，,∗∗为内积。
设(,)(1,2,,,1,2,.)R k l k q l p ==K K 为数字图像的Radon 变换，则存在2()()k f x L R ∈(实数域平方可积空间)，
使得(,)()k R k l f l φ=∗，因此二维图像的离散脊波变换(Discrete Ridgelet Transform ，DRT )为：
,22,DRT ()()ψ=⋅j j k k n f n f ，(1,2,,)n p =L (14)
3.4 连续曲波变换
标准的小波变换对解决二维函数12(,)f x x 的方向特征问题能力很差。通常的小波变换有：垂直、水平和
对角线的方向。为了满足更多方向的要求，形成了连续的曲波变换(Continuous Curvelet Transform ，CCT )。CCT 是这样一种变换：12(,)(,,)f x x f a b θ↔Γ，a 为尺度，b 为位置，方向θ扫过连续的范围。
nano3假定在R 2中，有变量x 、频率域的变量ξ、极坐标中的r 和ω。设两个窗函数()W r 和()V t ，分别称为径向窗和角窗。这两者都具有平滑的、非否定和真正的价值，()W r 的定义域为(12,2)r ∈和()V t 的定义域为[1,1]t ∈−。窗函数满足条件：
20d ()1,0∞
=∀>∫a W ar r a
(15) 121()d 1−=∫
V u u (16)
20(,,),,,[0,2)θθθΓ=<∈∈πf ab a b f春藕斋
a a
b R (17)
在二维情况下，Curvelet 沿着曲线定位，在三维情况以面定位。同样地，引入脊波分析窗的概念，由于脊波尺度、方向和位置的连续性，相邻的分析窗是重叠的，具有很强的相关性。
4 脊波变换的应用
在脊波理论发展的同时，脊波应用的研究工作也在不断地开展，主要有以下几个方面：
1) 脊波在数学中的应用（如函数逼近），用脊波的有限线性组合逼近函数，脊波的表示是最优的[7]。
2) 脊波在信号处理中的应用，包括信号检测、目标识别以及去噪等，如雷达信号、医学信号、天文信号[8]、地震信号等。
在脊波分析的框架下，结合二进小波变换的局部脊波变换，用于检测直线的方法，应用于方向性较强的图像获得了良好的检测效果。
对于含有高斯噪声的天文图像，经过Curvelet 变换可以有效去除噪声，且原图像可以清晰地重现出来。
3) 脊波在图像处理中的应用，如图像融合、图像去噪、图像恢复、图像译码等。
在各种遥感应用中，人造卫星的图像融合是一种非常有用的技术。以Curvelet 变换为基础的图像融合方法[9]，具有比小波更好的边缘效果。此方法能同时提供在空间和频域中较丰富的信息。这种方法达到了多尺度变换的最合适的融合结果。
在去噪方面，应用脊波、曲波、周波(Contourlet)隐马尔可夫树(Hidden Markov Tree ，HMT)模型对含有白噪声的图像进行去噪。变换系数的阈值简单，特别是边缘比以小波为基础的现有方法具有更好的效果。在纹理重构方面，Contourlet HMT 在各个方向上的纹理效果都有所提高[10]。
为离散的和有限的图像设计一个标准正交的Ridgelet 变换。使用有限的Radon 变换(Finite Radon Transform ，
318信息与电子工程第3卷FRAT )作为一个变换块。为了克服有限变换的周期影响，产生了一个新的有序FRAT系数。
在逆问题的处理方面，曲波框架是最优的选择[11]。曲波在检测曲线边缘及在曲线边缘的合成方面取得了好的效果。Radon变换可由一维傅里叶反变换获得，Radon变换以离散的快速傅里叶变换为基础，在医学图像和合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar， SAR）图像中广泛使用。
由于脊波和小波的联系，对于在不同的脊波方向上，脊波变换将会和小波变换一样具有相似的时频变化规律。总之，脊波既有小波结构上的优点，又有自己独特的地方，即特别适合于处理直线状或超平面状的奇异性。
基金频道5 脊波变换的优缺点及其存在的问题
小波变换在描述孤立的点状奇异性时有效，而脊波变换在描述相互连接在一起的线状奇异性时有效，脊波以基元素的形式表示出了非常好的方向敏感性和各向异性。因此，在图像处理中使用脊波来检测图像的边缘或轮廓是一种有效的方法，其效果优于小波变换。
脊波作为基函数用来逼近具备直线型奇异性的函数具有优越性。脊波以稳定的和固定的方式用一系列脊波函数(基元素)的叠加来表示一个具有多变量的函数类。在这些新的广泛的函数类上，采用各种特殊的高维空间的不均匀性来模拟现实的信号。因此，用脊波来检测直线特征，可以有效地捕获各个尺度、各个位置和各个方向上的信息。
有限脊波变换(Finite Ridgelet Transform，FRIT)是可逆的、无冗余的，并且可由快速的算法计算得来，对一个具有线性奇异性的图像有效。因此，在图像恢复和去噪方面，FRIT比小波分析更有效。
多尺度脊边缘往往反映了其骨架信息，而对许多目标而言，其骨架往往反映了其最重要的信息，它将对进一步的分割或识别工作带来很大的帮助。
脊波只对具有线状奇异性的图像边缘检测效果明显，即对于规则图像检测效果好，然而自然图像的边缘通常不一定是直线型的，具有曲线奇异性，这样脊波变换就满足不了要求。
6 研究进展
脊波变换不能很好地处理曲线奇异性。为了解决此问题，一种方法是基于分割的思想，用单尺度脊波来表示曲线奇异性，单尺度脊波在一个基准尺度s上进行脊波变换，相对于单尺度脊波出现了曲线波(Curvelet)，也
s s≥上进行脊波变换，单尺度脊波和多尺度脊波的基本原理都是把称多尺度脊波，它是在所有可能的尺度(0)
曲线无限剖分，每一小段近似的为直线，然后再对这些直线段运用脊波变换。二维情况下，曲线波可以沿曲线自适应地“跟踪”奇异曲线[12]。
另一种方法没有采用分割的思想，处理的方法是周波变换。周波变换与脊波变换和曲波变换有所不同，它是从离散域结构出发，然后经过叠加处理推广到连续域[13]。周波变换没有延续以小波变换为基础的思想，而是一种新的风格，它能沿着光滑曲线的各个方向跟踪曲线，与以小波变换为基础的脊波变换相比较，计算简便，效果好。
7 脊波发展的方向
脊波理论的基本框架已经形成[14-16]，脊波包的构造、几种连续变换在数字图像处理方面的应用及其新框架的形成等问题都值得我们去研究和探讨，具体有以下几个研究方向：
(1) 脊波用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面设计、函数逼近及与分形的结合应用等；
(2) 脊波基的选择和自适应脊波基的构造；
(3) 脊波变换用于图像边缘检测、脊波变换和神经网络相结合用于图像边缘检测；
(4) 脊波变换用于信号的检测、分类与识别。
8 结论
脊波分析是继小波分析之后的又一个飞跃，脊波理论正在蓬勃地发展，脊波的应用领域有待进一步研究和扩展。脊波理论与脊波应用两方面紧密结合，一定会在图像边缘检测、信号处理等方面拥有广阔的应用前景。参考文献：
[1] E J Candes. Ridgelets and Their Derivatives: Representation of Images with Edges[R]. Department of Statistics, Stanford University,
第4期 刘丽等：脊波变换的研究现状与应用前景319 Saint-Malo Proceedings and Larry L.Schumaker(eds), 1999:1-10.
[2] M N Do. Directional Multiresolution Image Representations[D]. Department of Communication Systems, Swiss Federal Institute of
Technology Lausanne, 2001.
[3] J L Starck, E J Candès, D L Donoho. The Curvelet Transform for Image Denoising[J].Trans.Image Processing,2002,11(6):670-684.
[4] M N Do, M Vetterli. The Finite Ridgelet Transform for Image Representation[J]. Trans. Image Processing, 2003,12(1):16－28.
[5] E J Candes, D L Donoho. Curvelets—A surprisingly Effective Nonadaptive Representation for Objects with Edges[A]. Curve and
Surface Fitting: Saint-Malo[C].1999.
[6] 侯彪，刘芳，焦李成.基于脊波变换的直线特征检测[J].中国科学(E),2003,33(1):65-73.
[7] 焦李成，侯彪，刘芳.基函数网络逼近：进展与展望[J].工程数学学报,2002,19(1):21-36.
[8] J L Starck, D L Donoho, E J Candes. Astronomical Image Representation by The Curvelet Transform[J]. Astronomy & Astrophysics,
2003,398(2): 785-800.
[9] Myungjin Choi, Rae Young Kim, Moon-Gyu Kim. The Curvelet Transform for Image Fusion[A]. ISTANBUL ISPRS 2004[C].
2004,35, part B8:59-64.
[10] Duncan D Y Po, M N Do. Directional Multiscale Modeling of Images using the Contourlet Transform[A]. SPIE Proc San Diego[C].
2003.67-79.
[11] E J Candes, D L Donoho. Recovering Edges in Ill-Posed Inverse Problems:Optimality of Curvelet Frames[J]. Ann. Statist,
2000,30(3):784-842.
[12] E J Candes, D L Donoho. Continuous Curvelet Transform:I. Resolution of the Wavefront Set[EB/OL].http:www-stat.Stanford.edu
/~donoho/Reports/2003/ContCurveletTransform-I.pdf, 2003.
[13] M N Do, M Vetterli. The Contourlet Transform: An Efficient Directional Multiresolution Image Representation[J].Trans. Image
Processing, 2005,14(12):2091-2106.
[14] E J Candes, D L Donoho. Continuous Curvelet Transform: II. Discretization and Frames[EB/OL].http:www-stat.Stanford.edu
/~donoho/Reports/2003/ContCurveletTransform- II.pdf, 2003.
[15] D L Donoho. Orthonormal Ridgelets and Linear Singularities[J]. SIAM J. Math.Anal, ,2000,31(5):1062-1099.
[16] D L Donoho. Ridge Functions and Orthonormal Ridgelets[J]. J.Approx.Theory, 2001,111(2):143-179.
作者简介：
刘丽（1976-），女，陕西省三原人，讲师，硕士，1999年毕业于西安石油大学电子仪器及测量技术专业，主要研究方向：电路与系统的理论与应用、认知思维的信号处理等．Email:liuliyuanlige@126．
王曙钊（1955-），男，陕西省乾县人，教授，博士，主要研究方向：电路与系统的理论与应用、认知思维的信号处理等．Email：wangsdawn@163．
李敬社（1965-），男，河南省南乐人，副教授，硕士，1988年毕业于郑州大学电子工程系，1991年毕业于空军导弹学院通信与电子系统专业，主要研究方向：电路与系统的理论与应用、认知思维的信号处理等．Email:lrcljs@163．
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