刘玉振仪科3班反课纲运动
一、二维多分辨率分析
二维多分辨率分析与一维类似，二维多分辨率分析的尺度函数为，其中
和是一维中的尺度函数。设是对应的一维小波函数，则有
、、、都是二维多分辨率分析的小波函数。由于、、都至少包含一个带通的和，所以它们都是带通的，反映的是细节信息.
分别用小波函数、、、对二维离散信号进行小波变换，可以将它分解为各层各个分辨率上的近似分量cAj，水平方向细节分量cHj，垂直方向细节分量cVj，对角方向细节分量cDj，其二层小波图像分解过程如图1。1所示。 图1。1 二维小波图像分解过程
假设二维离散信号X（512，512)，对其用二维离散小波进行小波变换，得到的小波系数如图所示，A、 H、V、D都是系数矩阵。A2、H2、V2、D2的尺寸为128*128,H1、V1、D1的尺寸为256＊256。如果进行三层分解，则A3、H3、V3、D3的尺寸为64*64，H2、V2、D2的尺寸还是128*128,H1、V1、D1的尺寸还是256*256.
图1。2 二维小波重构图像过程
二层小波重构过程正好相反，基于小波变换的图像处理，是通过对图像分解过程中所产生的近似分量和细节分量系数的调整，使重构图像满足特定条件，实现图像处理，具体过程如图1.2所示.
二、小波图像降噪
龚绮
在获取和传输图像的过程中，不可避免地会混有噪声，所以在处理和传输时，就必须对图像进行去噪处理，以提高图像的质量。由于小波变换具有良好的局部特性，因此作为一种信号和图像处理的工具得到了广泛应用。
图像去噪的一般方法是：
1、图像的小波分解。选择合适的小波函数以及适合的分解层数对图像进行分解.
2、对分解后的高频系数进行阈值处理。对分解的每一层，选择合适的阈值对该层的水平、垂直和斜线三个方向的高频系数进行阈值量化处理。 3、重构图像。根据小波分解的低频系数和经阈值量化处理后的高频系数进行图像重构.
三、基于Bayes估计的小波去噪
3。1 Bayes估计小波阈值
1995年，Donoho首次提出了小波阈值的概念。小波阈值是一种非线性的方法，它是在小波域内通过对小波系数进行处理来达到去除噪声的目的。其理论前提是，认为图像的小波系数是服从广义高斯分布的，且绝对幅值较大的小波系数主要是由原始信号变换后得到的，而绝对幅值较小
的小波系数则主要是由噪声变换后得到的，这样就可以通过设定阈值将较小的噪声系数去除来达到去除噪声的目的.
阈值处理有软阈值函数(soft threshold)和硬阈值函数（hard threshold)两种[2］，其中，软阈值函数(也称作收缩shrink函数）为人体之最
其中，x是小波系数，T是阈值，软阈值函数是先让小波系数x和T进行比较，然后根据比较结果，让x向0收缩。
硬阈值函数为
其中,x是小波系数，T是阈值，硬阈值函数是使绝对幅值大于T的小波系数保留，其他系数则为0。
软阈值和硬阈值处理的区别，这里选择软阈值方法。
建设档案管理小波系数经过阈值处理后，由小波逆变换得到重建图像.
通过阈值来进行去噪，最佳阈值T大小的确定是一个关键的问题。
Chang[1]等人根据图像小波系数分布的特点，提出了一种基于Bayes准则的图像去噪方法——Bayes shrink去噪法，其最佳阈值T为
其中，是噪声信号方差的估计，是图像信号方差的估计.
假设图像表示为，其中表示图像在处的灰度值。因此，含有噪声的图像就可以表示成
木板削削削
其中，噪声，属于正态分布，与图像信号相互独立.
经过小波变换后，有
其中，表示含有噪声图像的小波系数，表示原始图像的小波系数，表示噪声的小波系
数。
根据Chang提出的方法，噪声信号小波系数的方差估计可以由下式得到
其中，s表示不同方向上的小波系数，表示水平方向上的小波系数，表示垂直方向上的小波系数，表示对角方向上的小波系数；C为常数，取0。6745;，N表示小波分解的层数.
由于服从高斯分布，所以混合信号Z的小波系数的方差
由，可得到原始信号小波系数方差的估计
这样就得到Bayes shrink的阈值表达式
3。2 Bayes估计小波系数
采用无偏最小方差估计准则对不同尺度空间和不同方向上信号的小波系数进行自适应估计，以后验概率的平均值作为小波系数的估计，然后对小波系数进行小波逆变换得到去噪后的图像.
对于一个被噪声污染的信号Z=X+n.当信号X无法直接测量时，通常采用估计法根据观察值Z 对信号X进行估计，无偏最小方差估计是一种最优的Bayes估计准则，它同时满足无偏和估计方差最小两个条件。
根据贝叶斯法则，满足无偏最小方差的最优估计为后验概率（条件概率）的均值[4]。
因此，要求解就必须知道噪声的概率密度函数和原始信号的概率密度函数.
由概率论的知识可知，两个服从高斯分布的信号叠加后，其分布依然近似服从高斯分布，且高斯分布的均值对应概率分布曲线的最大值处的自变量值，由高等数学知识可知，通过令概率分布密度函数的一阶微分为0，可以求得高斯分布的均值。当噪声信号服从零均值，方差的高斯分布，且信号服从零均值，方差的高斯分布时，由数学公式推导，可得
疲劳强度本文中图像的噪声服从高斯分布，而图像的小波系数也服从广义的高斯分布.所以，可对不同分解层数，不同方向（水平、垂直、对角）上的图像高频小波系数进行Bayes估计［3］，具体形式如下
由于无法直接得到噪声小波系数的方差值，所以需要对进行估计，得到估计值，具体的估计公式为
其中，s表示不同方向上的小波系数，表示水平方向上的小波系数，表示垂直方向上的小波系数，表示对角方向上的小波系数；C为常数，取0.6745;，N表示小波分解的层数.
为混合信号Z的小波系数的方差，由，可得到原始信号小波系数的方差估计
将和代入小波系数的Bayes估计公式得原始信号的小波系数最优估计.
最后，对进行小波逆变换，得到去噪后的信号。
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