6.1 小波及连续小波变换
个基本小波或母小波。对母小波做伸缩平移得
（6-1）
称为小波函数，简称小波。其中,、均为连续变量：
1） 为尺度因子，b为平移因子。变量反映了函数的宽度，b反映了小波在t轴上的平移位置，小波函数是基本小波函数先做移位再由做伸缩，不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数的能量集中在b点。
3）一般，尺度因子，作用是使小波做伸缩，越大，越宽，既小波的持续时间随变大而增宽；幅度与成反比而减小，但波形形状不变。因子作用是当变化时保持小波的能量相等，既（保范性质）。
● 定义 6.2 设，且满足条件
（6-2dx7440）
则称为允许小波，上式为允许条件。
由知，，既，因此允许小波一定是基本小波；反之，若满足，且，其中是一个常数，则式（6-2）成立。这表明允许条件与几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。 ● 设是一个基本小波，是连续小波函数，对于，其连续小波变换定义为
（6-3）
其中，,、均为连续变量，表示的共轭。和联合起来确定了对信号进行分析的中心位置和时间宽度。 ● 几个重要性质：
设和的小波变换分别为和
1） 线性性： +
2） 平移不变性：的平移等于它的小波变换的平移。
，
● 小波变换的巻积形式
=
其中，。小波也可看成是信号与滤波器的巻积运算。可看成高通滤波器。在连续小波变换的情况下，不要求小波有与相对应的尺度函数。连续小波变换只分析信号的细节部分。
● 逆小波变换
若是允许小波，则对任何和的连续点,
其中， 和是整数。
6.2 常用的基本小波
1.Haar小波
2.Daubechice小波
图 db2 尺度函数与小波函数
3. 双正交样条小波
4. Morlet小波
尽管基本不是紧支撑，但它的时频局部特性较好。它还不满足允许条件，但当时，允许条件近似成立。
5.高斯（Gauss）小波
高斯小波是高斯
函数的一阶导数，
它的表达式为
傅里叶变换为（形式与时域相同，
仅差一常系数）
6.Marr（Mexihat）小波
Marr（Mexihat）小波
是高斯小波的二阶导数，
仅差一个负号。
它的时域和频域都有好的局部化特性，且满足允许条件。
7. Meyer小波
Meyer小波是频率带
限函数，光滑性很好
的正交小波。具有无
穷阶的消失矩；具有
对称性；具有很好的衰减性，但达不到指数衰减。
8. Shannon小波
Shannon尺度函数
其傅里叶变换为
Shannon小波
傅里叶变换为
Shannon小波在时域无限次可微，具有无穷阶消失矩，不是紧支撑，
具有缓慢的渐进衰减性；在频域，Shannon小波是带限函数，具有
局部化特性。
9. Battle-Lemareie样条小波
● 关于样条函数：
（1）离散小波变换中的尺度函数为一阶
B样条函数，由右图可得
（2）离散小波变换中的样条小波函数。
由图可得一个直观概念。与尺度样条函数
的关系如下式
它由样条尺度函数构成。
● Battle-Lemareie样条小波它是由B样条函数构造正交小波函数而得到的，具有指数衰减的正交小波，如下图
6.3 时频分析
6.3.1 傅立叶分析
6.3.2 短时傅立叶变换
● 定义6.3 非平凡函数称为窗函数，如果.
● 窗函数的几个例子。
♦ 一阶B样条函数：
♦ Haar小波函数：
♦ 二阶基数B样条：
♦ 高斯函数：
，
仪表设备● 定义6.4 中共六大对任意窗函数，它的中心与半径分别定义为：
（用力学中的重心和转动惯量的定义来解释）
窗函数的中心与半径的性质：
1）的中心和半径分别是和。
2）的中心和半径分别与的中心与半径相同。
3）的中心和半径分别是和。
4）的中心与半径分别与的中心与半径相同。
● 海森堡测不准原理
如果，使得与均为窗函数，则。当且仅当时，等号成立。其中， ，，且是高斯函数。当窗口函数取高斯函数，时，称为变换，它的时间--频率窗为
这个时-频窗的宽度是不变的，它的面积是2。测不准原理表明，不可能到一个窗函数，使得它的窗面积小于高斯函数最为窗函数时的窗面积。不可能在时域和频域都获得任意高精度的结果，要使频域分辨率高，就一定牺牲时域分辨率；反之，要获得高分辨率的时域特性，只能牺牲频域分辨率。
● 短时傅立叶变换及其局限性
Gabor在1946年引入了短时傅里叶变换，其基本思想是：
将信号用窗函数划分成小的时间间隔，用傅里叶分析间隔中的信号。短时傅里叶变换的表达式为
信号在乘以平移滑动的窗口
后，有效地屏蔽了窗口两侧的信号，再对进行傅里叶变换所得到的结果反映的是附近的局部信号的频谱信息，从而达到了时域局部化的目的。
再看频域局部化。
＝
＝
＝
描述了频谱经卷积平滑后的结果（相差一个因子），
由于是有局域化作用的，则也就有局域化作用了，从而也就可以在某频率附近观察信号了。所以，只要合适选择窗函数，就同时达到了时－局域化要求。短时傅立叶变换的窗函数取高斯函数时，叫做“Gabor变换”。
短时傅立叶变换在一定程度
上克服了傅立叶变换不具备时—
频能力的缺陷，但短时傅立叶变换
的窗函数选定后，时频矩形窗口的
形状就确定了，只能改变窗口在时
频平面中的位置，不能改变形状，
除非重新选定窗函数。 图 窗口傅里叶变换时一频平面
6.3.3 小波时频分析
● 小波提供了一个随频率改变的时频窗口，克服了短时傅立叶窗口不随频率变化的缺点。
设是任意的基本小波，并且及其傅立叶变换都是窗函数，它们的中心和半径分别为、、和。同时假设选择的基本小波能使为正数。还假定小波函数中的尺度。由于是窗函数也一定也是窗函数，它对信号分析起到观察窗口作用。中心和半径分别为和。由连续小波变换的定义可知
给出了信号在时间窗口内的局部信息，该窗口的中心位于，宽度为。就是说由在该窗口上的局部特性来描述。尺度因子越小，的局域性质就刻画得越好，这在信号分析中称为“时间局部化”。
另一方面，小波变换的频域表达式为
（6-5）
由是一个窗口函数，也是一个窗函数，其中心和半径分别为和。式（6－5）表明，小波变换具有表征待分析信号频域上局域性质的能力，它给出了信号在频域窗口内的局部信息。可将这个窗口看成是具有中心频率且带宽为的一个频带，在信号分析中称为“频率局部化”。有关系
这说明了中心频率和带宽之比与无关。
若用作为频率变量，则给出了信号在时—频平面中的一个时间---频率窗
上的局部信息，既小波具有时—频局部化特征，下图表明：
(1)减小，增加，频窗中心自动调整到较高的位置，同时频域窗口自动变宽，时间窗自动变窄，这时对信号的时间定位能力增强，时间分辨率高，频率分辨率则低，从而以较高的频率对信号进行细节分析；
(2)增大，减小，频窗中心自动调整到较低的位置，同时频域窗口自动变窄，时间窗自动变宽，这时对信号的频率定位能力增强，频率分辨率高，时间分辨率则低，从而以较低的频率对信号进行轮廓分析。
因此，小波变换是一架“变焦镜头”，它即是“望远镜”，又是“数学显微镜”，而伸缩因子就是“变焦旋钮”。
6.4 连续小波变换的计算
少数情况下连续小波变换可以进行解析计算，多数只能近似计算。
● 近似计算，设，且为实数小波。
1. 矩形积分
在给定尺度下，对待分析信号和分析小波按照,进行采样，其中，为采样间隔（周期），采用矩形数值积分法的小波变换近似计算如下：
简记为
式中，，表示信号的采样序列，周施雄是分析信号的采样序列。对每个给定的值，依次求出不同值下的一组小波系数。当然，在实际计算时，也需要离散化，一般也取。
2. 梯形数值积分
同样地，对待分析信号和分析小波按照古典主义时期,进行采样，其中为采样间隔（周期），采用梯形数值积分法的小波变换近似计算公式如下：
藏文网站大全式中，，简记为
这说明，对于任何一个，可以通过计算离散信号序列与小波函数的采样序列的巻积来计算小波系数。
● 应用连续小波变换分析信号的基本步骤为：
(1)选择小波函数及其尺度值。
（2）从待分析信号的起始位置开始，将小波和信号进行比较，即计算小波变换系数。如下图a)。由于小波函数具有紧支性，它与信号进行比较，就相当于与截下部分信号做小波变
换，求小波变换系数，这样小波变换就有了时间局部化能力。
（3）沿时间轴移动小波函数，即改变位移因子b，在新的位置计算小波系数，直到信号终点。如下图b)。可以得到不同时间位置处的小波系数。而小波系数表示了小波与信号的相近程度。小波系数越大，两者越相似。
（4）改变尺度值，重复（2）、（3）。
从频域看相当于小波相当于一个带通滤波器，移动的过程相当于用不同中心频率的带通滤波器对信号进行处理。由于不同的尺度，小波的频率范围（带宽）不同，
● 连续小波变换系数的二、三维表示
（1）连续小波变换系数二维灰度表示
在Matlab小波工具箱中，用cwt([)函数计算连续小波变换。例如，对Matlab中提供的某一信号进行连续小波变换，尺度分别为12.12、10.24、16.38、1.2、2、4、6、8、1 0，小波函数用db3，则连续小波变换的系数的灰度表示如图6-9所示。在图形中，小波变换系数的大小是用灰度的深浅表示的，颜越深，则表示变换后的系数越大.
● 连续小波变换的三维表示
对于信号
的连续小波变换的三维表示如下图。
● 离散小波变换与连续小波变换的差别
第2排是用db3小波对它做5级离散小波变换，尺度分别为2、4、8、16、32并对其系数进行放大。
第3排仍使用db3x小波，尺度分别为1、2、，…，32d的连续小波变换。
● 几个连续小波变换的例子
（1）
图 (a)信号，(b)连续小波变换
（2）
信号的连续小波变换及其模极大值曲线
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