⼀、⼩波基选择标准
⼩波变换不同于傅⾥叶变换，根据⼩波母函数的不同，⼩波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使⽤哪⼀种⼩波的标准⼀般有以下⼏点：1、⽀撑长度
⼩波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的⽀撑区间，是当时间或频率趋向于⽆穷⼤时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从⼀个有限值收敛到0的长度。⽀撑长度越长，⼀般需要耗费更多的计算时间，且产⽣更多⾼幅值的⼩波系数。⼤部分应⽤选择⽀撑长度为5~9之间的⼩波，因为⽀撑长度太长会产⽣边界问题，⽀撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这⾥常常见到“紧⽀撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果⾃变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；⽽在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧⽀撑函数，⽽这个0附近的取值范围就叫做紧⽀撑集。总结为⼀句话就是“除在⼀个很⼩的区域外，函数为零，即函数有速降性”。
2、对称性
具有对称性的⼩波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该⼩波对应的滤波器具有线性相位的特点。
3、消失矩
在实际中，对基本⼩波往往不仅要求满⾜容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的⼩波系数为零或者产⽣尽量少的⾮零⼩波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越⼤，就使更多的⼩波系数为零。但在⼀般情况下，消失矩越⾼，⽀撑长度也越长。所以在⽀撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
⼩波的消失矩的定义为，若
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其中，Ψ(t)为基本⼩波，0<=p<N。则称⼩波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表⽰就是Ψ(ω)在 ω=0处有⾼阶零点（⼀阶零点就是容许条件）。
4、正则性
在量化或者舍⼊⼩波系数时，为了减⼩重构误差对⼈眼的影响，我们必须尽量增⼤⼩波的光滑性或者连续可微性。因为⼈眼对“不规 则”(irregular)误差⽐“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的⼩波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减⼩量化或舍⼊误差的视觉影响。但在⼀般情况下，正则性好，⽀撑长度就长，计算时间也就越⼤。因此正则性和⽀撑长度上，我们也要有所权衡。
消失矩和正则性之间有很⼤关系，对很多重要的⼩波（⽐如，样条⼩波，Daubechies⼩波等）来说，随着消失矩的增加，⼩波的正则性变⼤，但是，并不能说随着⼩波消失矩的增加，⼩波的正则性⼀定增加，有的反⽽变⼩。
5、相似性
选择和信号波形相似的⼩波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。
田文镜⼆、常见的⼩波基
奔豚症以下列出的15种⼩波基是Matlab中⽀持的15种。
1、H a a r⼩波
浙江大学校医院陈文备Haar，⼀般⾳译为“哈尔”。
Haar函数是⼩波分析中最早⽤到的⼀个具有紧⽀撑的正交⼩波函数，也是最简单的⼀个⼩波函数，它是⽀撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。Haar⼩波在时域上是不连续的，所以作为基本⼩波性能不是特别好。刘文玺 张媛
2、Da ubec hies(dbN)⼩波(紧⽀集正交⼩波)
Daubechies，⼀般⾳译为“多贝西”。
Daubechies⼩波是由世界著明的⼩波分析学者Ingrid Daubechies(⼀般⾳译为英格丽·多贝西)构造的⼩波函数，我们⼀般简写成dbN，N是⼩波的阶数。⼩波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的⽀撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN⼩波具有较好的正则性，即该⼩波作为稀疏基所引⼊的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程⽐较光滑。dbN⼩波的特点是随着阶次（序列N）的增⼤消失矩阶数越⼤，其中消失矩越⾼光滑性就越
好，频域的局部化能⼒就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧⽀撑性减弱，同时计算量⼤⼤增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN ⼩波不具有对称性（即⾮线性相位），即在对信号进⾏分析和重构时会产⽣⼀定的相位失真。dbN没有明确的表达式（除了N=1外，N=1时即为Haar⼩波）
3、Symlet(sym N)⼩波(近似对称的紧⽀集正交⼩波)汤芳艳图
Symlet⼩波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的⼩波函数，它是对db函数的⼀种改进。Symlet⼩波系通常表⽰为symN (N=2,3,…,8)。symN⼩波的⽀撑范围为2N-1，消失矩为N，同时也具备较好的正则性。该⼩波与dbN⼩波相⽐，在连续性、⽀集长度、滤波器长度等⽅⾯与dbN⼩波⼀致，但symN⼩波具有更好的对称性，即⼀定程度上能够减少对信号进⾏分析和重构时的相位失真。
4、Co iflet(c o ifN)⼩波
根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet⼩波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这⼀系列。Coiflet的⼩波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的⽀撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有⽐dbN更好的对称性。
5、Bio rtho go na l(bio r N r.N d)⼩波
r tho rN
为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引⼊了双正交⼩波，称为对偶的两个⼩波分别⽤于信号的分解和重构。双正交⼩波解决了线性相位和正交性要求的⽭盾。由于它有线性相位特性，所以主要应⽤在信号与图像的重构中。通常的⽤法是采⽤⼀个函数进⾏分解，⽤另外⼀个⼩波函娄进⾏重构。
月台 艾雯
双正交⼩波与正交⼩波的区别在于正交⼩波满⾜<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,kδl,m，也就是对⼩波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，⽽双正交⼩波满⾜的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的⼩波函数之间有正交性，⽽同尺度之间通过平移得到的⼩波函数系之间没有正交性，所以⽤于分解与重构的⼩波不是同⼀个函数，相应的滤波器也不能由同⼀个⼩波⽣成。
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