2016级博士生数学复习题
1. 设()||||f x x =是实Hilbert 空间H 上的泛函，证明，当0x ≠，()f x 在点x 处沿着h 方向的Gateaux 微分。P81 证明： x
赛尔号库里怎么打h
x x th x t th
th th x x th x t x x th x th x x th x t x th x x th x t x th x x th x t x th x t x f th x f t t t t t t ,)(,,2lim )(,,lim )(lim )
())((lim lim )
()(lim
002
2
0000永芳化妆品
=++-=++-++=++-+++++-+=-+=-+→→→→→→
于是，当0≠x 时，f 在x 处沿着h 方向的teaux a G )
微分为：
x
h
x h x Df ,),(=
2. 设泛函
342
, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y
x y x y f x y x y
x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪=⎩
，证明(,)f x y 在点(0,0)
处不是Frechet 微分。P84
证明：由于
R y x x y x y x ∈∀≤+,,2
1
243
所以f 在点（0,0）处连续，令),(ηξ=h ，则有
ηξηξη
ξηξ+=++
+=-+→→t
连云港新闻综合频道t t t t t t t f th f t t 24300)()()(lim )0()0(lim 因此，f 在点（0,0）处沿方向h 的teaux a G )
微分为ηξηξ+=)),(),0,0((Df ，但是，如果令2ηξ=，则有
2/1422/122)()(ξξηξ+=+=h
于是
02
1)()(lim )()
(lim ),0()0()(lim 2/1422242
3
02/1422
4300≠=++=++-+++=--→→→ξξξξξ
ξξξηξηξη
ξηξh h h h h Df f h f
所以，f 在点（0,0）处不是chet e Fr )
私有云系统可实现功能
可微的。
3. 设(,)k t s 为[0,1][0,1]⨯上的二元连续函数，定义以(,)k t s 为积分核的积分算子
22:([0,1])([0,1])K L L →为
1
20
()()(,)(),([0,1]).
Kf t k t s f s ds f L =∀∈⎰P42
证明：对于任意的[])1,0(,2L g f ∈，有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==10________
1010_____
__________________1
10____
________________
1
01
0______
______
1
01
010)(),(,)(),()()(),()()(),()()()(),()(,)(),(,ds s g s t k f dt ds s g s t k t f ds
dt t g s t k s f ds dt t g s t k s f dt
t g ds s f s t k t g ds s f s t k g Kf
则有平阳霉素
[]⎰∈∀=1
02)1,0(,)(),())((L f ds s f s t k t Kf
4. 求证：
1
*20
()()(,)(),([0,1]).
K f t k s t f s ds f L =∀∈⎰
1223121
(,,)(,,,,)
23n n T x x x x x n -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
求
T
.
P41
证明：对于任意的221),,(l x x x ∈=Λ，有
[
]
[]
x
x x x x x x x x n n x x x n n x x x x T Tx n n n n =+++++≤++++≤⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+++++=+==2
/1223222
1
2
/1223222
/1223223221)
)()()()
()
)()()())1()32()21()
,1,,32,21(),,(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
于是1≤T ，另外，对于),0,1,0,,0(ΛΛ=n e ，则有
)(11
,0,1,
0,,0∞→→+=+=n n n n n Te n ΛΛ 所以 1=T
4520.
xx xy yy x y u u u u u +++++=
证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。
其特征方程为
41,1==dy dx dx dy ，则,4
1
,dx dy dx dy == 求得特征线是214
1
,c x y c x y =-=-，
其中c 1，c 2为任意常数，作变化 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=,41,x y x y ηξ
可将方程化成双曲型第一标准型：09
8
31=--ηξηu u
若再作变换，⎩
⎨⎧+=-=,,
ηξηξt s
方程就可化成双曲型第二标准型098
3131=++--t s tt ss u u u u .
6. 求初值问题
()(),0,1u u y u u x x y x y u xy ∂∂⎧-+-=-⎪
∂∂⎨
⎪==⎩
当时的解.
证明：由特征方程
y
x du
x u dy u y dx -=-=- 求得两个相互独立的初积分是
22221,c u y x c u y x =++=++
因此，全特征线都是一些圆的曲线。
我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0表明有2221,c y x c y x =+=+，且xy=1，即
222221+=++=c xy y x c
高等学校化学学报故所求积分曲面的隐式解为
()22222+++=++u y x u y x
写成显式形式为
y
x xy
u +-=
1
7. “平面上给定两个固定点，求连接这两个固定点的曲线中最短的曲线方程”。试建立这一问题的变分模型，并求解。P93 证明：转化为在边界条件1100)(,)(y x y y x y ==，在此条件下求解泛函
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