知乎转载，是我看到把⼩波变换解释的很清楚的⽂章，特定转载⼀下。
从傅⾥叶变换到⼩波变换，并不是⼀个完全抽象的东西，可以讲得很形象。⼩波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所⾯对的问题看起，可以整理出⾮常清晰的思路。
下⾯我就按照傅⾥叶-->短时傅⾥叶变换-->⼩波变换的顺序，讲⼀下为什么会出现⼩波这个东西、⼩波究竟是怎样的思路。（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，希望不会太长不看。。）
⼀、傅⾥叶变换
关于傅⾥叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认⼤家现在正处在理解了傅⾥叶但还没理解⼩波的道路上。（在第三节⼩波变换的地⽅我会再形象地讲⼀下傅⾥叶变换）
下⾯我们主要讲傅⾥叶变换的不⾜。即我们知道傅⾥叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出⼩波变换？答案就是所说的，“对⾮平稳过程，傅⾥叶变换有局限性”。看如下⼀个简单的信号： 做完FFT（快速傅⾥叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。 ⼀切没有问题。但是，如果是频率随着时间变化的⾮平稳信号呢？ 建筑结构抗震论文如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。⽽下边两个则是频率随着时间改变的⾮平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨⼤差异的信号，频谱（幅值谱）却⾮常⼀致。尤其是下边两个⾮平稳信号，我们从频谱上⽆法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是⼀样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅⾥叶变换处理⾮平稳信号有天⽣缺陷。它只能获取⼀段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并⽆所知。因此时域相差很⼤的两个信号，可能频谱图⼀样。
然⽽平稳信号⼤多是⼈为制造出来的，⾃然界的⼤量信号⼏乎都是⾮平稳的，所以在⽐如⽣物医学信号分析等领域的论⽂中，基本看不到单纯傅⾥叶变换这样naive的⽅法。
上图所⽰的是⼀个正常⼈的事件相关电位。对于这样的⾮平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。
⼆、短时傅⾥叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
⼀个简单可⾏的⽅法就是——加窗。我⼜要套⽤同学的描述了，“把整个时域过程分解成⽆数个等长的⼩过程，每个⼩过程近似平稳，再傅⾥叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅⾥叶变换。
看图：
陶瓦
交通流
时域上分成⼀段⼀段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！
⽤这样的⽅法，可以得到⼀个信号的时频图了：
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所
以⼤家只⽤看⼀排就⾏了。是不是棒棒的？时频分析结果到⼿。但是STFT依然有缺陷。
使⽤STFT存在⼀个问题，我们应该⽤多宽的窗函数？
窗太宽太窄都有问题：
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上⼜不够精细，时间分辨率低。
（这⾥插⼀句，这个道理可以⽤海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取⼀个粒⼦的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是⼀对不可兼得的⽭盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在⼀个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）
看看实例效果吧：
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
铁托
宾果豆豆上图对同⼀个信号（4个频率成分）采⽤不同宽度的窗做STFT，结果如右图。⽤窄窗，时频图在时间轴上分辨率很⾼，⼏个峰基本成矩形，⽽⽤宽窗则变成了绵延的矮⼭。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
所以窄窗⼝时间分辨率⾼、频率分辨率低，宽窗⼝时间分辨率低、频率分辨率⾼。对于时变的⾮稳态信号，⾼频适合⼩窗⼝，低频适合⼤窗⼝。然⽽STFT的窗⼝是固定的，在⼀次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是⽆法满⾜⾮稳态信号变化的频率的需求。
三、⼩波变换
那么你可能会想到，让窗⼝⼤⼩变起来，多做⼏次STFT不就可以了吗？！没错，⼩波变换就有着这样的思路。
但事实上⼩波并不是这么做的（关于这⼀点，同学的表述“⼩波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每⼀⼩部分进⾏傅⾥叶变换”就不准确了。⼩波变换并没有采⽤窗的思想，更没有做傅⾥叶变换。）
⾄于为什么不采⽤可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的⼀⼤缺陷。
于是⼩波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗，分段做FFT；⽽⼩波直接把傅⾥叶变换的基给换了——将⽆限长的三⾓函数基换成了有限长的会衰减的⼩波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了~
【解释】
瓶颈效应
来我们再回顾⼀下傅⾥叶变换吧，没弄清傅⾥叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解⼀下。
傅⾥叶变换把⽆限长的三⾓函数作为基函数：
这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并⾮平移，⽽是两个正交基的分解）。缩得窄，对应⾼频；伸
得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某⼀个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到⼀个很⼤的值，因为此时⼆者有⼀种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。
仔细体会可以发现，这⼀步其实是在计算信号和三⾓函数的相关性。
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