2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II)
院星航第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．
A ．{0,1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3}
公民与法2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．
A ．－1＋i
B ．－1－I
C ．1＋i
D ．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．
A ．
B ．
C ．
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D ．1313-1919
-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平
行于l
5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，
则a ＝( )．
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．
A ． 1111+23
10+++ B ．1111+2!3!10!+++ C ． 1111+23
11+++ D ．1111+2!3!
迎新春舞曲
11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c
9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件若z ＝2x ＋y 的最小
1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩
值为1，则a ＝( )．
A ．
B ．
C ．1
D ．2
141
210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．
A ．x0∈R ，f(x0)＝0
∃B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形
C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D ．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．
A ．y2＝4x 或y2＝8x
B ．y2＝2x 或y2＝8x
C ．y2＝4x 或y2＝16x
D ．y2＝2x 或y2＝16x
12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．
A ．(0,1) B
． C ． D ．112⎛⎫-
⎪ ⎪⎝
⎭113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝AE BD ⋅ __________.
14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若
取出的两数之和等于5的概率为，则n ＝__________.114
15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭θ＝__________.
16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
(1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
核酸杂交
18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分
AB
别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的
频率)，求T的数学期望．
20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
22=1x y a b
+
(a ＞b ＞0)右焦点的直线交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为.0x y +=12
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．
(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性；
数据库测试(2)当m ≤2时，证明f (x )＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．
(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P ，Q 都在曲线C ：(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩
＜2π)，M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
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