微积分(下)傅里叶级数部分难题解答
傅里叶级数部分难题解答
1((书中,第1题)三角多项式 P301
n,0，，，，Tx,，,coskx，,sinkx ,nkk2,1k
的傅里叶级数还是它自己吗,
，，Tx,,解:是以为周期的函数，不妨在,,,,上展开成傅里叶级数.由于 2,n n,,,a1110，，，,coskx，,sinkxdx ,dx，，a,Txdx,kk0n,,,,,,,,,,2,,1,k
,,.(由于三角函数系的正交性) 0
,1对于 由 ,m,1,m,n,，，a,Txcosmxdxmn,,,,
n,,,,110，， ,，，.smxdx,kk,,,,,,,,,,,，，2,,,1k
由于三角函数系的正交性，仅当时， k,m
, smxdx,,..,,,,
,,其余而且 ，，，，smxdx,0k,smxdx,01,k,m.,,,,,,
a,,.故 mm
a,0.对于 ,m,m,n，同样由三角函数系的正交性知 m
,0,m,n,,,m即 a,,m0,其他.,
,1,m,n,,,m，，Tx同理，有 所以，的傅里叶级数为 b,,nm0,其他.,
,n,a00，，，，，acosmx，bsinmx,，,cosmx，,sinmx (换记为) ,,mmmm22m1,1,m
nn,,00，，，，，，,，,coskx，,sinkx.Tx,，,coskx，,sinkx三角多项式,,kknkk22,1,1kk的傅里叶级数还是它自己.
1
微积分(下)傅里叶级数部分难题解答
4，，fx,sinx,x,,,,,,2((书中,第2题)将函数展开成傅里叶级数 P301
,,,11244解: ，，a,fxdx,sinxdx,sinxdx0,,,,,0,,,,,
,,,，，2443!!,3444222(第二个积分令,sinxdx，costdt,sinxdx,.,.,,,,,0004!!24,,,，，
, t,x,)2
,,114 ，，a,fxcosnxdx,sinxcosnxdxn,,,,,,,,
,131,, 2cos2xcos4xcosnxdx,,，,,,,,,422,,
a,0,由于三角函数系的正交性，仅当或时，此时 n,2,n,4n
,,1111 a,,s2xdx,,;s4xdx,.24,,,,,,,,2288
4，，fx,sinx,x,,,,,,b,0(n,1,2,....) 又由于是偶函数，故. n
311所以， ，，,,fx,,cos2x，cos4x,x,,,,,.828
21,cos2x311,,4，，fx,sinx,,...,,cos2x，cos4x,x,,,,,,,.既然 ,,2828,,
利用第1题的结论，它的傅里叶级数就是它自己，即:
311 ，，,,fx,,cos2x，cos4x,x,,,,,.828
，，,,,,3((书中,第3题)关于区间展开函数 P302
1,x,0,,n1,,,1，，,,sgnx,0,x,0,为傅里叶级数，并由此证明 ,.,,n2,14n1,,,1,x,0.,
sgnx 解:注意到为奇函数，故显然
,,11， a,sgnxdx,0;snxdx,0;0n,,,,,,,,
,,,122 b,sgnx.sinnxdx,.sinnxdx,,cosnx|n,,0,0,,,,n
第三方环境检测机构管理
4,,n,1,3,5,...,2, ,,.,,cosn,,1,n,,n,,0,n,2,4,6,..,
2
微积分(下)傅里叶级数部分难题解答
,4111，，sgnx,bsinnx,sinx，sin3x，sin5x，sin7x，... ,n,,,357，，n1,
,41，，，，,sin2n,1x.,,,x,,. (*) ,2n,1,n1,
,(*)中，令得: x,,2
n1n1,,,,,414,1,,1，，，，,，，1,sin2n,1,所以 ,.,,,212n,,2n,1n2,14,n1,n1n1,,
，，4((书中,第4题)关于区间,,,,展开下列函数为傅里叶级数 P302
(?)，，fx,x;
，，(?)fx,cosax(为常数); a
，，(?)fx,xsinx;
,0,,,,0,x,(?) ,fx，，,x,,x,,.,
十三经索引，，fx解:(?)所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此的傅 ，，fx.里叶级数处处收敛于
，，b,0;n,1,2,？.，，fx 注意到为偶函数，故显然而 n
,,22 ，，a,fx.dx,x.dx,,;0,,00,,
,,22 ，，snxdxn,,00,,
,,,,2122，，，，,0，cosnx,,, ，，.xdsinnxxsinnxsinnxdx||,,,,00,,00，，,nn,,nn，，
,4,n,,1,3,5,...,2,2 ,,,cosn,,1,.n,,2n,,n,0,2,4,6,..,
酸甘化阴，，fx 所以，的傅里叶级数展开式为
,,a4111，，0x,，acosnx,,cosx，cos3x，cos5x，cos7x，... ,n222,,,22357，，n1,
3
微积分(下)傅里叶级数部分难题解答
,,41 ,,cos2n,，，，，1x.,,,x,,. ,22,，，2n,1n,1
(?)所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此，，的傅里fx，， 叶级数处处收敛于fx.
，，b,0;n,1,2,？.，， 注意到fx为偶函数，故显然而 n
,,,2222 ，，a,fx.dx,cosax.dx,sinax,sina,;|0,,000,,aa,,
巨星影业
,,22 ，，snxdxn,,00,,
,21 ,,，，，，,cosn,ax，cosn，axdx,0,2
,,11,sin,,n,ax，sin,,n，ax，，，， ||00，，，，,,n,an，a
n,，，111,, ，，,a,,sin,,n，an,a,,,
1nn，,，，a,，，a，，,,12a2sin1，，,,..sina,，，n,1,2,？ 2222,n,a,na,
，，fx 所以，的傅里叶级数展开式为
,,aanx2sin，1cos，，，1n，，，,,,x,,. ax,，,，，cos1,,,,22,a2na,1，，n,
，，fx(?)所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此的傅里
，，b,0;n,1,2,？.，，，，fx.fx叶级数处处收敛于注意到为偶函数，故显然而 n
,,,222 ，，，，a,fx.dx,xsinx.dx,,x.dcosx0,,,000,,,
,,2，，,,,,2; xcosxcosxdx|,0,,0，，,
,,,122 ，，a,fxcosx.sxdx,xsin2xdx1,,,000,,,第二次经济普查
,,,111，，，， ,,x.dcos2x,,xcos2x,cos2xdx,,;|,,00,0,，，,,222
,,22，， snxdxn,,00,,
长江三角洲经济
4
微积分(下)傅里叶级数部分难题解答
,21 ,,，，，，,x.sinn，1x,sinn,1xdx,0,2
,,,11,xd,,cosn，1x，xd,,cosn,1x，，，， ,,00，，，，,,n，1n,1
,,,1,,，，,xcos,,n，1x,cos,,n，1xdx，，|,00，，,n，1
,,1,,，，，xcos,,n,1x,cos,,n,1xdx，， |,00，，,n,1
11,22，，n1nn，，，,,1,，，n,2,3,？ ,,1,,，，，，1.22,,n，1n,1n,1n,1，，
，， 所以，fx的傅里叶级数展开式为
n1，,1,1，， ，，xsinx,1,cosx，2cosnx.,,,x,,.,22n,1n2,
,,,111,(?) ，，，，a,fx.dx,fx.dx,x.dx,;0,,,,00,,,2,
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议