专题04 和差化积----因式分解的方法（2）
阅读与思考
因式分解还经常用到以下两种方法
1．主元法
所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；
（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．分数的基本性质教学设计
例题与求解
【例l恢复精力】因式分解后的结果是（ ）．
A． B．
C． D．
解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻解题突破口．
【例2】分解因式：
（1）；
（2）．
（天津市竞赛题）
解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．
【例3】分解因式．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．
【例4】为何值时，多项式有一个因式是
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．
【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.
（江西省景德镇市竞赛题）
解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．
【例nrb6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？
（江苏省竞赛试题）
解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．
能力训练
A 级
1．分解因式：＝___________________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．分解因式：＝_______________________
（河南省竞赛试题）
3．分解因式：＝____________________________．
（重庆市竞赛试题）
4．多项式的最小值为____________________．
（江苏省竞赛试题）
5．把多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（ ）．
特里伊格尔顿
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6个
7．若被除后余3，则的值为（ ）．
A．2 B．4 C．9 D．10
（“CASIO杯”选拔赛试题）
8．若，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．0
（大连市“育英杯”竞赛试题）
9．分解因式：
（1）；不饱和树脂
（吉林省竞赛试题）
（2）；
（昆明市竞赛试题）
（3）；
（天津市竞赛试题）
（4）；
（四川省联赛试题）
（5）
（天津市竞赛试题）
10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？
（兰州市竞赛试题）
11．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．
（浙江省竞赛试题）
B 级
1．若有一个因式是，则＝_______________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．
（“五羊杯”竞赛试题）
3．已知是的一个因式，则＝________________________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
4．多项式的一个因式是，则的值为__________．
（北京市竞赛试题）
5．若有两个因式和，则＝（ ）．
A．8 B．7 C． 15 D．21 E．22
（美国犹他州竞赛试题）
6．多项式的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．16 D．25
（“五羊杯”竞赛试题）
7．若（为实数），则M的值一定是（ ）．
A．正数 B．负数 C．零 D．整数
(“CASIOfmc公司杯”全国初中数学竞赛试题）
8．设满足，则＝（ ）
A．（2，2）或（－2，－2） B．（2，2）或（2，－2）
C．（2，－2）或（－2，2） D．（－2，－2）或（－2，2）
（“希望杯”邀请赛试题）
9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？
（天津市竞赛试题）
10．证明恒等式：．
（北京市竞赛试题）
11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．
（山东省竞赛试题）
12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．
（莫斯科市奥林匹克试题）
专题04 和差化积-------因式分解的方法(2)
例1. A 提示: 将原式重新整理成关于的二次三项式
例2. (1) 提示: 原式
(2) 提示: 原式
例3. 原式
例4. 提示: 可设原式展开比较对应项系数得解得k＝12．
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