题根研究二项式(a+b)n展开式寻根
湖南衡阳县五中陈胜北京万尔遐
一、课堂奇遇从( a + b)2 说起
老师要讲新课——二项式(a+b)n的展开式了.他的提问从初中数学“和的平方公式”开始.
【题1】在二项式(a+b)n中，分别求n=2和n=3的结果.
【解答】根据乘法法则，分别有：
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
老师开始向“新课”引渡：(a+b)4 =？甲生答：(a+b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2+4ab3+b4
老师再问：(a+b)5=？乙生回答：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
老师疑思：难道学生已经掌握了二项式定理？于是，干脆把问题推到“一般式”，问：(a+b)n=？
全场寂静，无人应声. 良久，丙生反问：这里(a+b)n中的n为多少？
——任意正整数！——这个我们不会，您必须告诉，n为多少？老师退一步说：n=6
丙生马上回答：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
老师追问：你怎么知道的？丙生回答：
(a+b)6展开式是个6次齐次式. 字母a降幂排列，从6降到0；字母b升幂排列，从0升到6. 至于各项的系数，只要把(a+b)5展开系数“错位相加”即得. 草式如下，从n=5到n=6： 老师大惊：谁告诉你们的？
学生回答：初中数学中的多项式乘法的“系数分离法”，乘法变成加法算，草式如下： 到此，老师明白了，学生已经从乘法公式的递推运算中掌握了二项式定理. 剩下的任务只是如何将各项系数实现“符号化”的问题，即在展开式：
(a+b)n =A0a n+ A1a n-1b+…+ A n-1 ab n-1+ A n b n
中，如何将系数A0，A1，…，A n-1，A n用n的计算式表示出来.
二、错位加法演出杨辉三角
老师顺势引导学生：这个递推的“错位加法”很有意思，是否可以把草式
简化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，比如，开出一个表来.
于是，各式各样的二项式(a+b)n展开式的“系数表”送来了，其中使大家感
兴趣的是“等腰三角表”.
“好呀！”老师高兴地说：“如果你们能早点出生，这个三角形就可以用你们名字命名啦！现在这个等腰三角表已经命名为杨辉三角形了！”
大家也很高兴：我们也成数学家啦！
丁生提议：这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.
甲生提议：这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.
乙生提议：这个三角形还可命名为“肩挑两数三角形”，因为
这个三角形的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和. 如三角形
中第5行的第3数10，就等于它的肩上两数——第4行第2、3两
数的和：10=4+6.
老师插问：“肩挑两数”中的这两个数是唯一的吗？于是有下
面的问题.
【题2】在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩
上2数的和，可以是：
A.10=4+6
B.10=3+7
C.10=2+8
D.10=5+5
【解答】杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，加法的结果是唯一的. 因此，第5行第3数10，肩挑两数的结果是4+6. 答案为A.
丙生提议：这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.
因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.
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如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1
它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即
10=4+3+2+1
老师说，这个发现很有意思. 要知道，“单肩串数”这个性质实为“肩
挑两数”性质推论或发展. 谁能讲出这个道理来？
丁生发言：“单肩串数”实为“肩挑两数”进行递推的结果，例如数
10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.
10=6+4=6+（3+1）=6+［3+（1+0）］=6+3+1+0
如果是左肩串数，则是4次“肩挑两数”的结果：
10=4+6=4+（3+3）=4+［3+（2+1）］
=4+{3+［2+（1+0）］}=4+3+2+1+0
老师总结：“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；而“肩挑两数”又是“错位加法”的累计结果.
错位加法是问题之根.
为了弄清二项式(a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0a n+ A1a n-1b+…+ A n-1 ab n-1+ A n b n展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.
(a+b)2 = (a+b) (a+b)
此式中，我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有
(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)
=a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2
由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1+b2，这是从集合{b1，b2}中，每次取1个元
素所成的组合. 其组合数为=2.
12C 常数项b 1b 2，是从集合{ b 1，b 2}每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.
博客出版22C 统一地看，最高项a 2中不含b ，因此可以看作，从集合{ b 1，b 2}每次取出0个元素所对应的组合.
组合数为=1.
02C 这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a +b )2 =a 2+ab +b
202C 12C 22C 有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a +b )n 展开后各项的系数.
【题3】 试用组合数表示二项式
(a +b )n =(a +b ) (a +b )…(a +b ) = A 0a n + A 1a n -1b +…+ A n -1 ab n -1+ A n b n 展开式中各系数A 0，A 1，…，A n -1，A n .
【解答】 对于a n ，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中每次取出0个元素的组合. 组合数为A 0=.
0C n 对于a n -1b ，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中，每次取出1个元素的组合，组合数为A 1=.
1C n ……
对于ab n -1，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中，每次取出n -1个元素的组合，组合数为.
1C -n n 对于b n ，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中，每次取出n 个元素的组合，组合数为.
n n C 于是，二项式(a +b )n 可展开成如下形式
(a +b )n =a n +a n -1b +…+ab n -1 +b n 0C n 1C n 1C -n n n n
C 这就是所谓的“二项式定理”.
它是“和的平方式”的一般形式，或者说，(a +b )2 = a 2+2ab +b 2是二项式定理的特殊形式.从数学思想上说，“和的平方式”是“二项式定理”之根. 反过来，二项式定理为和的平方之果.
四、“肩挑两数” 组合的加法性质
将杨辉三角形中的第一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的
加法式. 如
2
4
1425C C C +=这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”
14C 2
4C 的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.
2
5C 一般地，杨辉三角形中第n +1行任意一数，
“肩挑r n 1C +两数”的结果为
r
n
r n r n C C C 11+=-+这就是组合的加法性质：“下标相等上差1，下标增1选大的”.
逐次利用可以得
r
n r n r n C C C 11+=-+
r
r
r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n C C C )C C (C C )C C (C C C C 111212*********+++==+++=++=+=--------------+ 即
1
1
1111C C C C -----++++=r r r n r n r n 这是组合加法性质的推广：组合数. 可以写成
n -1个组合数
r n 1C +相加，各加数的上标都是r -1，而下标则是从n 开始，依次递减为r -1
例如，将第5行第4数展开，即是
35C
33
2324332324342435C C C )C C (C C C C ++=++=+=这就是“单肩串数”的加法式，图示如右.
有了组合的加法性质，二项式(a +b )n 展开式的证明就变得非常简便了.【题4】 求证二项式定理
(a +b )n =a n +a n -1b +…+ab n -1 +b n 0C n 1C n 1C -n n n n
C 【证明】 （1）当n =1时，a +b = a +b =a + b 命题真.
1C 11C （2）假设 n =k 时命题真，即
(a +b )k =a k +a k -1b +…+ab k -1 +b k 0C k 1C k 1C -k k k k
C 两边同乘以(a +b )，由“错位加法”可得
(a +b )k +1 =a k +1 +()a k b +()a k -1 b 2 +…+()ab k + b k +10C k 10C C k k +21C C k k +k k
k k C C 1+-
=a k +1 + a k b +…+ ab k + b
k +101C +k 11C +k k k 1C +11C ++k k 综合（1），（2）可知，对任意的n ∈N +，二项式(a +b )n 展开式成立.
“错位加法”是二项式(a +b )n 展开时计算系数的“根法”.以下这道高考题，如果利用这种“根法”，可以实现一望而答.【考题1】 在(x -1) (x +1)8的展开式中，求x 5的系数.
【分析】 (x -1) (x +1)8中x 5的系数，由(x +1)8中，x 4与x 5两项的系数错位相加而得.
【解答】 (x -1) (x +1)8 = (x -1) (… +x 5+x 4+…) = … +(-)x 5
+ …
38C 48C 48C 38C 故x 5项的系数为-=14.
48C 3
8C 五、n 始于1 r 始于0
在杨辉三角形中，我们看到：n 从1开始，但是第1行有2个数，第2行有3个数，…，第k 行有k +1个数，这正是二项式展开时“错位相加，项数多1”的结果.
(a +b )n =a n +a n -1b +…+a n -r b r +…+b
n 0C n 1C n r n C n n C 展开式中的r 从0取到n ，故(a +b )n 展开式有n +1项，其中关于r 的通项a n -r b r 不是第r 项，而是第
r n C r +1项. 故二项式展开式的通项公式为 T r +1=a n -r b r 初学者经常说成 T r =a n -r b
r r n C r n C
【题5】 在
的展开式中，第几项含x 3？
()4
2x x +【说明】 在通项公式a n -r b r 中求得r 值，对应的r +1为其项数.
r n C 【解答】 T r +1 =(2x )4-r =24-r
令
得r =2
r 4C r x )
(r 4C 2
4r x
-
32
4=-
r
T 3=(2x )2·x =24x 3
故展开式的第3项含x 3项24x 3.
r 4C 【考题2】 已知，求展开式中x 9的系数.
9
221⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-x x 【说明】 x 9的系数不是二项式中的系数，但可通过通项公式a n -r b r 求出对应的r 来.
x
b 21
-
=r n C 【解答】 设展开式的第r +1项能化简得到x 9项.
则有 T r +1 =(x 2)9-r ·=
r
9C r
x
⎪
⎭
⎫ ⎝
说事拉理2013⎛-21r
r
r
x 3189
)
2(C -∙-令 18-3r = 9 得r =3
故
x 9的系数为
2
21
)2(C 3
39
-
=-【考题3】 若展开式中存在常数项，则
n 的值可以是
n
x
x 2(
3+
A.8
B.9
河北志航
C.10
D.12
【解答】令第r +1项
T r +1== 0，得 3n =5r ，选项中只有C 合适.
r n C 6
53322)(r
n r r n r
r n x C x x --∙∙=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛六、公式一个 特式万千
二项式定理是个公式，其中的a ，b ，n 可“任意”取值.
(a +b )n =a n +a n -1b +…+a n -r b r +…+b
n 0C n 1C n r n C n n C
（1）n 取特值可得到具体的乘方公式，如 (a +b )4 =a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2+4a 1b 3+b 4
（2）a ，b 取特值，可得许许多多的组合式
①令a =b =1 得
+++…+=2
n 0C n 1C n 2C n
n n C ②令a =1，b =-1 得
青果在线+++…=++…++…=2n -10C n 2
C n
m n 2C 1C n 3C n 1
2C +m n
③令a =b ，b =a 得
r n n
r n -=C C 【考题4】 若(1-2x )2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004（x ∈R ），则(a 0+a 1)+ (a 0+a 2)+ (a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)= .（用数字作答）
【分析】 这是利用“公式”研究“特式”的值，关键是研究在公式中取x 的特值.【解答】 在原式中，令x =0，得 a 0=1，令x =1得a 0+a 1+a 2+…+ a 2004=1，
所以a 1+a 2+…+ a 2004=0，所以(a 0+a 1)+ (a 0+a 2)+ (a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)=2004a 0=2004.
【考题5】 在的二项展开式中，含
x 的奇次幂的项之和为S ，当x =
时，求S 的值.
2006)2(-
公牛通讯x 2
【分析】 涉及奇（偶）次项系数的问题，注意运用组合式
++…=++…=2
n -10C n 2
C n
1C n 3C n
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
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