整式的乘法与因式分解（学⽣加强版）
⼀．整式的乘法
【学习⽬标】
1. 会进⾏单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算． 2. 掌握整式的加、减、乘、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律简化运算. 【要点梳理】 要点⼀、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它们的指数作为积的⼀个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合
应⽤.
（2）单项式的乘法⽅法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系
数交换到⼀起进⾏有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进⾏计算；只在⼀个单项式⾥含有的字母，要连同它的指数写在积⾥作为积的⼀个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适⽤以上法则. 要点⼆、单项式与多项式相乘的运算法则蛋氨酸铬
单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.
即()m a b c ma mb mc ++=++.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算⽅法，实质是利⽤乘法的分配律将其转化为
多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是⼀个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每⼀项包括它前⾯的符号，
同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从⽽得到
最简的结果.
要点三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn
++=+++.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的⼆项式相乘：()()()2
x a x b x a b x ab ++=+++.
【加强版练习题】1
类型⼀、单项式与单项式相乘
1、计算：
（1）(
)()1
21232n n x
y xy x z +??
-?-?-
（2）3
22
3
25(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----．
苯丙酮酸尿症【答案与解析】解：（1）(
)()1
21232n n x
y xy x z +??
-?-?-
()()()()12
1232n n
x x x y y z +=-?-?- ???
4
13n n x y z ++=-
（2）3
22
3
刚度比
25(3)(6)()(4)a b
b ab ab ab a -+----
3222325936()16a b b a b ab ab a =+--
333333334536167a b a b a b a b =--=-．
【总结升华】凡是在单项式⾥出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.
类型⼆、单项式与多项式相乘
2、计算：
少年画报（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2
3
2
2(32)3(21)a a a a a a +--+-+
【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进⾏化简．【答案与解析】解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--
2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--
2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．
（2）2
3
2
2(32)3(21)a a a a a a +--+-+
2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-
3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．
【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从⽽得到最简结果．（2）单项式与多项式的每⼀项都要相
乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每⼀项的符号时，⼀定要⼩⼼．举⼀反三：
【变式】化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）．【答案】
解：原式=x 2
﹣x+2x 2
+2x ﹣6x 2
+15x
=﹣3x 2
+16x ．
3、先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2
（3a+4），其中a=﹣2．
【思路点拨】⾸先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代⼊已知的数值计算即可．【答案与解析】
解：3a （2a 2
﹣4a+3）﹣2a 2
（3a+4）
=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2
=﹣20a 2
+9a ，
当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．举⼀反三：
【变式】若20x y +=，求3
3
2()4x xy x y y +++的值．【答案】
解：3
3
2()4x xy x y y +++
3223224x x y xy y =+++ 22(2)2(2)x x y y x y =+++，
当20x y +=时，原式＝220020x y +=．
类型三、多项式与多项式相乘
4、若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3
x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含3x 和x 项，也就是3 x 和x 项的系数为0，由此得⽅程组求解．【答案与解析】
解：2
2
(1)(231)ax bx x x ++-+
4323222323231ax ax ax bx bx bx x x =-++-++-+ 4322(32)(32)(3)1ax a b x a b x b x =+-++-++-+
∵乘积中不含3
x 和x 项．
∴ 32030a b b -+=??
-=?，解得2
药事管理3
a b =??=?．
【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，
再根据题意由某些项的系数为零，通过解⽅程（组）求解．举⼀反三：
【变式】在()()
22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2
x 项的系数是－6，求a 、b ．
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【答案】
解：()()
22231x ax b x x ++--
因为3x 项的系数是－5，2
x 项的系数是－6，
所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.
⼆．因式分解（加强学习）
【学习⽬标】
1. 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系；
2．能确定多项式各项的公因式，会⽤提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】
要点⼀、因式分解
把⼀个多项式化成⼏个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，⽽不是针对单项式，是对这个多项式的整体，
⽽不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把⼀个多项式分解到每⼀个因式不能再分解为⽌.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，⼆者不能混淆.因式分解是⼀种恒
等变形，⽽整式乘法是⼀种运算.
要点⼆、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每⼀项中都含有的因式.
（2）公因式可以是⼀个数，也可以是⼀个字母，还可以是⼀个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最⼤公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中⼀个因式是各项的公因式
m ，另⼀个因式是
，即，⽽正好是
除以m 所得的商，这种因式分解的⽅法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆⽤乘法分配律，
即
.
（2）⽤提公因式法分解因式的关键是准确出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第⼀项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的
第⼀项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）⽤提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和
为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0⽽出现错误.
【加强版练习题】2
类型⼀、因式分解的概念
1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）()a x y ax ay +=+；
（2）2
2
21(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）
2211
22
ab a b =；（5）2
22112a a a a ??++=+
．
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成⼏个整式的积的形式，从对象和结果两⽅⾯去判断. 【答案与解析】
解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
(4)的左边不是多项式⽽是⼀个单项式，
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