勒让德（legendre）多项式及其性质
一． 勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 其中
为非负实数 （1.1）
它的幂级数解如下：
（1.2）
干2019快速 localhost其中：
（1.3）
（1.4）
不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，
与
可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内
电麻机
和
都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当
时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当
取非负整数时，
和
中有一个便退化为
次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数 ，所得的多项式称为
阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作
，下面我们来推导勒让德多项式
的表达式。
1 当
为正偶数时
退化为
次多项式。为求得
的表达式，在
中我们通过
来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
（1.5）
在（1.5）式中取
，得：
（1.6）
习惯上取
为
（1.7）
于是有：
（1.8）
在（1.5）式中取
，并利用
2012北京高考理综之值得：
（1.9）
一般地，我们有
（
） （1.10）
我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的
记作
，可得：
（1.11）
这就是当
为正偶数时勒让德多项式。
2 当
为正奇数时
退化为
次多项式，我们把
记作
，同理可得：
（1.12）
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得
（1.13）
其中
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表示
的整数部分
由上述讨论可知，当
p2pcache为非负整数时，
东海小哨兵和
中有一个是
阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作
，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
（1.14）
特别当
时，由（1.11）和（1.12）式得：
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