拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳

1 拉普拉斯变换以及性质 1

刘怀元

英文摘要 21

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

物理系0801班学生岳艳林

指导老师韩新华

摘习吴会要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解

引言

傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间为自变量的函数通常在时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

1 拉普拉斯变换以及性质

1.1 拉普拉斯变换的定义

设函数当时有定义，而且积分(是一个复参量)在的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为.我们称上式为函数的abs223Laplace变换式.记为,称为的Laplace变换（或称为象函数）.

若是的Laplace变换，则称为的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为[2].

Laplace变换的存在定理

若函数满足下列条件:沈阳师范大学商学院

在的任一有限区间上分段连续；

当时，的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数及，使得成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，为它的增长指数）.

则的Laplace变换在半平面上一定存在，右端的积分在的半平面内,为解析函数[2].

1.2 拉普拉斯变换的性质

⑴线性性质若是常数，, ,

则有,

⑵微分性质若纤维素乙醇,则有.

高阶推广若,则有.

一般，.

⑶积分性质若,则.

⑷位移性质若，则.

⑸延迟性质赵本山实话实说若,又时,

则对于任一非负实数，

有,或[2].

⑹相似性性质若,则.

⑺卷积性质若,，

则，

其中称为与的卷积[3].

由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查原函数的象函数，或者从象函数查原函数。对于表中不能到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对[3]: