因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下，供同学们参考: 一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。 例1、因式分解 3242
2+++-b a b a
解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），
则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a
例2、因式分解 611623+++x x x
解析：根据多项式的特点，把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+ 则611623+++x x x =)63()84()2(223+++++x x x x x
=)
3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x 二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例3、因式分解4
44y x +解析：根据多项式的特点，在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，
则444y x +=2
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222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++=)22)(22(2
222y xy x y xy x +-++
例4、因式分解 4323+-x x
解析：根据多项式的特点，将23x -拆成2
细胞外基质
24x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x
=)
1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x =2
)2)(1(-+x x 三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
例5、因式分解24
苯酚硫酸法)6)(43(22+---+x x x x 解析：24)6)(43(22+---+x x x x =24)3)(2)(4)(1(+-++-x x x x
=24
)12)(2(24)4)(3)(2)(1(22+-+-+=++-+-x x x x x x x x 设22-+=x x y ，则10122-=-+y x x 于是，原式=
)62)(42()6)(4(241024)10(222--+--+=--=+-=+-x x x x y y y y y y =)
8)(3)(2()8)(6(222-++-=-+-+x x x x x x x x 例6、因式分解2
)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 解析：设n xy m y x ==+,，则
2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x =2中国学术期刊全文数据库
)1()2)(2(-+--n m n m =1)(2)(1222222+---=++-+-n m n m n m n mn m
=[]2
2222)1()1()1)(1()1()1(--=--=--+=--y x y x xy y x n m 四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。
例7、因式分解 )()(2222n m xy y x mn +++
解析：将多项式展开再重新组合，分组分解
)()(2222n m xy y x mn +++=2
222xyn xym mny mnx +++=))(()()()()(2
222ny mx my nx my nx ny my nx mx xyn mny xym mnx ++=+++=+++
例8、因式分解 22)()(my nx ny mx -++
解析：22)()(my nx ny mx -++=2
222222222y m mnxy x n y n mnxy x m +-+++=)
()()()(22222222222222n m y n m x y n y m x n x m +++=+++=))((2222y x n m ++
五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。
例9、因式分解xy
x y x x x 2232234-++-解析：将多项式以y 为主元，进行整理
xy x y x x x 2232234-++-=)23()2(2342x x x y x x +-+-
=))(2()1)(2()2(22y x x x x x x x y x x +--=--+-
例10、因式分解abc
bc c b ac c a ab b a 22
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22222++++++解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a 为主元进行整理 abcbc c b ac c a ab b a 2222222++++++=)()2()(222c b bc c bc b a c b a ++++++
=)()()(22c b bc c b a c b a +++++
摇摇变
=))((])()[(22bc ac ab a c b bc c b a a c b ++++=++++
=)
)()(()]()()[(c b c a b a b a c b a a c b +++=++++从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发同学们的学习兴趣。
因式分解的解题方法与技巧（2）
4.对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中，如果任意交换两个元的位置，多项式不变，这样的多项式叫做对称多项式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析这是一个二元对称式，二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示，如x2+y2=(x+y)2-2xy，二元对称多项式的分解方法之一是：先将其用xy,x+y 表示，再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c，即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),，原式不变，这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4，当x=2时多项式3x2-5x-2的值为
f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零，即f(a)=0，则f(x)能被x-a整除(即含有x-a 之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2，当x=2时,f(2)=0，即f(x)含有x-2的因式，事实上
f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
证明设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0，则
f(x)=f(x)-f(a)
=(a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0)
=(a n a n+a n-1a n-1+…+a1a+a0)
=a n(x n-a n)+a n-1(x n-1-a n-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(x n-a n),(x-a)|(x n-1-a n-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式，在使用因式定理时可以确定一个主元，而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设
f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)，易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0，故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)，其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a 是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是
a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1，所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.
例10 （1985年武汉市初中数学竞赛题）证明：2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.
证明以 f(x)记多项式.
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