授课章节 | ||
教学目的 | 1. 了解产生光波衍射现象的条件，理解菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射的区别； 2. 掌握单缝夫琅禾费衍射条纹的分布规律，能用半波带法对此分布规律进行解释； 3. 了解光栅衍射图样的特点及其成因，掌握光栅公式的应用及光栅光谱的缺级现象。 4. 了解衍射对光学仪器分辨率的影响； 5. 了解X光的衍射现象和布拉格公式的物理意义。 | |
教学重点、难点 | 1. 理解半波带法解释单缝衍射条纹的分布； 2. 熟悉光的干涉与光的衍射的区别； 3. 掌握光栅衍射的缺级现象并能具体解题； 4. 掌握光栅衍射时屏上最多能见到的条纹级数分析，且注意如果平行光倾斜地入射到光栅上，则屏上实际呈现的衍射级k正、负值可能是不对称。 | |
教学内容 | 备注 | |
§13.1 光的衍射 惠更斯-菲涅耳原理 一、光的衍射现象 1. 光的衍射：光在传播中遇到障碍物，使波面受到限制时，光线绕过障碍物继续前进的现象。 2. 衍射现象：光遇到障碍物后，光不再是直线传播，而是有光进入障碍物后的阴影区。光所达到的区域，光的强度分布也不均匀 (即强度有一定的分布)。 例如，平行单光照到一圆孔上，在孔板后不同处的面上观察光的不同特点： ①在直线传播区P1处观察：离孔很近，屏上为边缘锐利的光斑。基本上是圆孔的大小。这时光的传播可看作直线传播。 ②在近场衍射区P2处和P3处观察：P2处屏上为边缘模糊的光斑、光斑内有亮暗纹，中心为一亮点；P3处屏上环较大，且亮暗纹情况有变化，中心为一暗点。(在此范围中的衍射情况称近场衍射。屏在此范围内移动时，条纹的亮暗会有变化。) ③在远场衍射区P4处和P5处观察： P4处较远、此时屏上中间有一较大光斑，边缘外有条纹；P5处（没画）只是光斑比P4处大，样子基本不变。（在此范围中的衍射情况称远场衍射。屏在此范围内移动时，图样不变，只是随距离增大而图样范围增大。中心总是亮斑。） 由下可见，在衍射孔后，观察的距离不同，衍射图样是不同的。 再如，由点光源发出的光照到一狭缝上，在点光源、缝、屏幕三者固定的情况下，屏幕上光斑宽度决定于缝的宽度：缝宽较大时，有边缘清晰的光斑，且缝宽缩小时光斑宽度也随之缩小；但缝宽小到一定程度时，光斑宽度不但不缩小反而增大，并且光的强度分布也不再均匀，形成明暗条纹。即产生了光的衍射。 二、菲涅尔衍射与夫朗和费衍射 衍射系统：光源，衍射屏和接收屏。 图：光的衍射现象实验 通常按光学元件之间的距离将衍射分为两类： 1.菲涅尔衍射(近场衍射)：光源S和接收屏C都(或二者之一)距衍射屏有限远。 2.夫朗禾费衍射(远场衍射)：光源S和接收屏C都距衍射屏无限远。如，光源距孔 ，则观察点离孔有限远时，即为菲涅尔衍射；观察点离孔无限远时，即为夫朗和费衍射。 如，光源距孔很近，则孔后各处均为菲涅尔衍射 (此时入射光不是平面波，而是发散的球面波)。 注意： 这种分类上从理论计算上考虑的。菲涅尔衍射是普遍的，而夫朗和费衍射仅是它的一个特例。 由于夫朗和费衍射的计算要简单的多，因此把它单归为一类。 ①衍射孔径D及波长 的相对大小影响衍射现象： 若当 远小于D 时( <<D)，衍射现象不很突出；(在孔后相当长的距离内，光仍是直线传播。)若 较大( D)，则衍射现象突出。 ②观察衍射现象一般都是在远处，且使 D。 当 /D 0时，波动光学 几何光学(衍射现象特不突出，衍射效应可以忽略) 三、 惠更斯—菲涅尔原理： 波动有两个基本性质： （1）振动的传播；（2）时空周期性，能相互叠加。 惠更斯原理中“子波”的概念不能说明在不同方向上波的强度分布。 惠更斯——菲涅尔原理= 子波 + 子波相干叠加 （研究衍射现象的理论基础） 1.惠更斯—菲涅尔原理记 S: 点光源 ：球面波在某一时刻达到的波面 P ：波场中的某一点 2.惠更斯—菲涅尔原理为 (1) 上任一面元,都是发光的子波源。 (2) P点的振动是各子波传到P点的振动的相干叠加。 处理问题的关键：计算波源到各面元之间及各面元到场点之间的光程差。 3.菲涅尔衍射公式： 设： 上任一面元所发出的子波在P 点引起的振动为： 其中，C为比例系数，为随增大而缓慢减小的函数，称为倾斜因子；(它表示向各个方向发射的子波的振幅不同玛吉阿米的留言簿)。当 = 0，最大；当 90o，=0 (即无后退的子波) P点总振动为 上各面元对P点贡献的叠加： 菲涅尔衍射公式 几点说明： ①P点的振动为无限多个子波引起的振动的相干叠加的结果，所以变成了一个无限多光束的干涉问题。 ②利用菲涅尔衍射公式讨论问题时，积分只要对未被障碍物遮住的那部分波前即可。 ③原则上，菲涅尔衍射公式可以讨论一般衍射问题。但只对某些简单情况，才能精确求解。（例，对夫朗和费衍射积分较易，而对菲涅尔衍射则很困难。） 由于直接积分很复杂，所以还常常利用“半波带法”（代数加法）和“振幅矢量加法”（图解法）求解。 §13.2 单缝夫朗和费衍射 一、夫朗和费单缝衍射的实验装置： 如图，单缝线光源S，单逢K缝宽 为a (0.1undefined0.001mm)，透镜L1，L2 ；S在透镜 L1 的主焦点上，使穿过透镜 L1的光线形成平行光并垂直射向单逢K。穿过单逢K的光线经过透镜 L2会聚在屏幕 E上出现衍射图样。 具有相等衍射角 的一束衍射光会聚在屏幕某观察点P。P点所在的平行于狭缝的直线上各点有相同的光强。因而，在幕上的衍射图样中，条纹的轨迹平行于狭缝。 二、用“半波带法”分析衍射条纹 1、半波带法：设平行光垂直入射单逢sci数据库K，如上图： =0的一束衍射光会聚在屏幕上的P0点是中央亮纹的中心，亮度最大。 0的其他点衍射光会聚在屏幕上的其他点。考虑衍射角为 的一束平行光，经透镜后会聚P点。这束光两边缘的光线的光程差BC为 可见，光程差与 有关。而P 点的明暗情况与此光程差有密切关系。利用“半波带法”来分波面。 2、设BC等于半波长的偶数倍(AB被分为偶数个半波带)，设BC=2( /2)作平行于AC的平面，使相邻平面的间距为 /2。此平面把BC分成两段，同时将AB分成面积相等的两个半波带AA1，A1B。由于两波带上对应两点的位相差为 ( /2)。两光线到达P 点时正好抵消，所以，P 点将出现暗纹。同理，当BC= 2 K( /2), K=1,2,3,...则将AC分成面积相等的2K个半波带。相邻两波带发出的光到达P 点时正好抵消，P 点是暗纹。故形成暗纹条件为 ； （K=1,2,3,...） 注意: 上式中K 0。K= 0为中央亮纹。 如a= (即a很小)，则第一极小在 ＝90o处。即，中央亮纹充满缝前方整个屏幕，屏上各处亮度相同。 3、设BC等于半波长的奇数倍(AB被分为奇数个半波带)，设BC=3( /2)同理，把BC分成间距均为 /2三段。由于两波带上对应两点的位相差为 ，相邻两光线到达P点时正好抵消。所以，总效果是只有一个波带起作用。因此P点是亮纹。因起作用的带是整个面积的1/3,所以，P点的亮度小于中央亮纹的亮度。当BC=(2K+1) /2, K=1,2,3,...,时则将AC分成面积相等的2K+1个半波带。相邻两波带发出的光到达P点时正好抵消，总效果是只有一个波带起作用。所以，P点是亮纹，但亮度更小。所以，各级明纹中心条件为 ， 角越大，可分成的波带数越多，波带的面积越小。所以，级次越高的亮纹亮度越小。 4、若BC不为半波长的整数倍，则P 点的亮度比各级亮纹中心的亮度低而比暗纹亮。 三、衍射条纹的特点 1、中央明纹中心 2、暗纹的位置 暗纹将出现在 角满足 的位置上； 因 角很小，sin ，所以暗纹是等间距的。 3、其它级（K1）明条纹位置 在两相邻的暗纹之间是其它级明条纹，在明条纹范围内有一个相对光强最大的位置、它并不在两相邻暗纹的正中间，而是偏向中央明纹方向。 其它各级明条纹相对光强最大的位置： 第一级 第二级 第三级 其它级明条纹并不是等间距的。级次越高越趋于等间距。 以上结果是从菲涅耳原理积分得到的。利用半波带法只能得到（K1）的各级明条纹相对光强最大的位置在明条纹中心。即 第一级 第二级 第三级 另外 其它级明条纹的亮度 << 中央明条纹的亮度。 (经衍射后，绝大部分光集中于中央主极大) 4、条纹宽度 中央明条纹: 条纹宽度即相邻两暗纹间所夹的范围。 由第一暗纹位置 ， 即 中央明条纹角宽度,线宽度; 其它级明条纹角宽度,线宽度。 可见， （1）中央条纹宽度是其他次极大条纹宽度的两倍。(光能量主要在此条纹内) （2）a 或 条纹宽度加大，且各次极大向大角方向移动。当 a >> 时，条纹宽度 0标志设计教案。其结果与几何光学一致。当白光照射时，除中央明条纹中心外，其它级明条纹形成彩条纹。由屏幕中心向两边按由紫到红的顺序排列、形成所谓衍射光谱。（实际上，中央亮纹边缘也有彩。因为，宽度和波长相对有关。) 夫朗和费单缝衍射图样是一组平行与狭缝的明暗相间的条纹，其中中央条纹最亮最宽。 例1：波长为λ的单光垂直投射在缝宽a=4λ的单缝上，对应于衍射角φ=30o，单缝处的波面可分为几个半波带？ 解：由 可知，能分为4个半波带。 例2：在单缝衍射中，对于给定的入射单光，当缝宽变小时，除中央亮纹的中心位置不变外，各级衍射条纹 （A）对应的衍射角变小； （B）对应的衍射角变大； （C）对应的衍射角也不变； （D）光强也不变。 提示：由求解。 §13.3 衍射光栅 一、光栅： 概念： 乔二中彩狭义-- 平行，等宽，等间隔的狭缝； 广义-- 任何具有空间周期性的衍射屏。 分类： 光栅常数 ，其中：透光部分的宽度，：不透光部分的宽度。光栅上一般600--1200条/mm ；电子束刻制可达几万条/mm(d )；光栅是现代科技中常用的重要光学元件。 二、光栅衍射 是夫朗和费衍射；是单缝衍射与多缝干涉的总效果 1、汪建设光栅衍射是单缝衍射与多缝干涉的综合： N缝衍射是N条单缝衍射光的干涉。 （1）Young氏双缝干涉是不考虑每个缝衍射, 双光束干涉的光强分布是等强度的，如下图： （2）考虑每个缝的衍射时，各级主极大的光强不再相等： 设双缝的每个缝宽均为a。在夫琅和费衍射下，各缝的图样的位置是重叠的。 （3）两束衍射光相干叠加的结果： a、主极大的位置仍由双缝间距d决定，因而没有变化。 b、双缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而是受到了衍射的调制。 c、出现了明纹缺级现象 例：时， d、缝宽度a变化对衍射图样的影响：时，且很小时，衍射中央亮纹范围宽，这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形。 总之，光栅衍射是多光束衍射光(正入射)的干涉问题。 三、光栅衍射的光强公式：确定各级主级大的位置 1、对同一点P ，各缝衍射光束在P 点引起光振动的振幅近似相同，均为AP 2 、相邻两光束的位相差： 3、光栅公式： 当,时为主极大位置。 四、光栅衍射的特点 1、主极大位置 ： =0,1,2,——正入射光栅公式电子技术应用 为主极大的级次。以光栅法线为起点、逆时针为正级次；顺时针为负级次。 各主极大角位置为 ，，，… 主极大位置与缝数N无关（ ，d一定）。 2、主极大亮度 主极大处是各衍射光束同相加强，所以，合振幅是每一个 单缝发光振幅的N倍，即， ； 因此，此处光强为 。 所以，光栅缝数越多、条纹越亮 ； 因为，| | 90o， 。由 知：主极大的最大数目可见， 越大，视场中主极大的总数越少。当 d时，除0级外，无其他主极大。 3、暗区位置：在相邻两主极大之间还有次极大、其亮度远小于主极大，两相邻次极大之间是暗纹。次极大和暗纹的数目很多，加上次极大很暗，N很大时，次极大完全观察不到。所以，在相邻两主极大之间实际上是一片暗区。 4、 单缝衍射的调制作用： （1）只影响各主极大的强度分布，但不改变主极大和极小的位置。 （2）缺级现象的条件： 主极大位置 ， 单缝衍射的暗纹位置 ，则，，当有简单的整数比关系，将看到缺级现象。 5、条纹情况及其和,的关系： （1）不变(单缝轮廓不变)， 主极大变密；（包在单缝中央亮纹轮廓线中的主极大数目越大，缺级的级次变高。） 主极大变疏。（单缝中央亮纹范围内的主极大个数减小，缺级的级次变低。） （2）不变(主极大的位置、间距不变)， 单缝中央亮纹轮廓线变扁宽。（其内主极大数目增大。缺级级次变高。） 单缝中央亮纹轮廓线变窄。（其内主极大数目减少。缺级级次变低。） 五、斜入射的光栅方程 1、光线斜入射时的光栅方程： 总光程差为： ； 斜入射的光栅方程： 。 和的符号规定：和在光栅平面法线同侧时取正号，异侧时取负号。光线斜入射可以获得更高级次的条纹(高级次条纹分辨率高)。 六、光栅光谱 当复光入射到光栅上时，光栅可以将不同波长的光分开。与透镜一样，光栅也有分光作用或散作用。与透镜不同之处，光栅对第0级主极大不分开。 1.光栅光谱： 当单光入射时，有 ，(即角位置 与 有关) 当复光入射时， 除0级主极大外，其他各级，不同波长的同一级主极大的位置( )将错开。短波的靠近中央一点；长波的远离中央一点。错开的距离随级次的增高而增大。 例：白光(4000 7600埃)的光栅光谱(连续)： 定义：某波长的一个主极大叫作一条谱线。不同波长的同级(主极大)谱线组成一级衍射光谱。 2.光栅光谱的特点： 有许多级光谱，但无0级光谱。0级光谱是一条白亮线。光栅光谱是均匀光谱或正比光谱——在 不太大时，谱线的位置和波长成正比。如， 增大一倍时，谱线距0级主极大的距离也增加一倍。不同级次的光谱可以重叠，如级的 1的谱线和+1级的 2的谱线重叠，则必有 1＝(+1)。 例2：（1）在单缝夫朗和费衍射中，垂直入射光有两种波长，, 。已知单缝宽度，透镜焦距。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。（2）若用光栅常数的光栅代替单缝，其它条件和（1）相同，求两种光第一级主极大之间的距离。 解：（1）由公式： ， ， ， ， ，， ； （2） ，， ， 。 例3：某种单光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为，那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？ 解： , ， 若 ，则由 即，说明第二级谱线在无穷远处，所以观察不到。 例4：一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，，。实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角的方向上。求此光栅的光栅常数d。 解：由光栅公式有 ， 重合时，有 ， 所以， …，第二次重合，k1=6，k2=4，则有 ， 所以，d = 3.05×10–3mm。 §13.3圆孔衍射 光学仪器的分辨率 一、圆孔衍射 在观察夫朗和费单逢衍射的装置中、用一直径为D的圆孔代替单缝K，那么在透镜L的焦平面上可得到圆孔的衍射图样。其中央亮斑称为爱里斑。 又公式可知：D ， ，从而爱里斑变小。大多数光学仪器中所用透镜的边缘通常都是圆形的，所以夫朗和费圆孔衍射具有重要意义，对于象的质量有直接影响。 夫朗和费圆孔衍射的光强分布如下图所示： 中央亮斑─爱里斑（Airy disk）集中了约84%的衍射光能。 二、光学仪器的分辨率 瑞利判据：如果某一物点斑象（即爱里斑）的中心恰好落在另一物点斑象的边缘，这样所定出的两物点的距离作为光学仪器所能分辨的最小距离。 图（b）和（c）是刚好能分辨的分界线。 光学仪器的最小分辨角是 ， 式中D为仪器的孔径，是光波的波长。 光学仪器的分辨率：最小分辨角的倒数。 §1 4 .5 X射线的衍射 一、X射线 1895年，伦琴发现了X射线。X射线是由高速电子撞击固体时而产生的；由于这种射线不受电场或磁场的影响，所以它在本质上和可见光一样，是一种电磁波。 基本性质：波长极短，；穿透力极强。 二、X射线在晶体上的衍射 1、一般分析： X射线波长极短，一般光栅D>> ，因此用一般光栅看不到X 射线的衍射(除了0级)。1913年，劳厄(德国)想到，X射线波长和晶体内原子的间距差不多。能否用晶体产生X射线的衍射呢？ 实验果然看到了衍射现象。让连续 的X光射到单晶体上，则屏上产生了一些强度不同的斑点。称劳厄斑。 这实验证明了两点： (1) X射线是波长极短的电磁波； (2)晶体中原子的排列很整齐，原子间距是几个A的量级。 2、衍射分析： 在X射线的照射下，晶体中每个格点将成为一个散射中心。(由于各原子在空间周期性地排列着，且各原子散射光的频率和入射光相同。)所以各散射光是相干的，它们将在空间发生干涉。与光栅衍射的对比：晶格和光栅都反映了衍射屏的空间周期性。晶体中每一个原子相当光栅的一条缝。晶格常数相当于光栅常数。 衍射的分析方法：先考虑每一个原子的衍射，再考虑各原子的叠加。但由于考虑的是三维衍射，处理起来较困难。现采用另一种方法。分两步: 1.先考虑同一晶面上各原子间的干涉 点间干涉。 2.再考虑不同晶面之间的干涉 面间干涉。 (1)点间干涉：同一面上各散射光的干涉只需考虑在衍射角等于掠射角方向的0级主极大。可以证明，只有在衍射角等于入射角的方向上有加强的反射，其他方向衍射很弱。 (2)面间干涉：不同面上反射出的平行光叠加后是加强还是削弱，取决于相邻两光束之间的光程差。 相邻两光束的光程差为 可见，的大小完全取决于入射角的方向 。 布喇格公式：（多光束干涉） 干涉加强条件为 、K=1,2,… 布喇格公式 3、 X射线衍射与普通光栅衍射的区别： 晶体内有许多晶面族,入射方向和 一定时，对第个晶面族有： ∴X射线衍射有一系列的布喇格条件。 一维光栅只有一个干涉加强条件─光栅方程。 4、 X射线衍射的应用： （1）X射线光谱学，从连续谱中出 。已知d 。 （2）X射线晶体分析，已知 ，研究晶体结构。已知 d 。(d:晶体结构常数)。 例5：在X射线的衍射实验中，用波长从0.95Ao到1.30Aо的连续X以 45o角掠入射到晶体表面。若晶体的晶格常数d = 2.75Ao,则在反射方向上有哪些波长的X光形成衍射主极大? 解: 布拉格公式 所以波长为1.30Ao和0.97Ao的X射线能产生衍射主极大。 | ||
复习与思考 1 衍射的本质是什么?衍射和干涉有什么联系和区别? 2在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果把单缝沿透镜光轴方向平移时，衍射图样是否会跟着移动?若把单缝沿垂直于光轴方向平移时，衍射图样是否会跟着移动? 3 什么叫半波带?单缝衍射中怎样划分半波带?对应于单缝衍射第3级明条纹和第4级暗条纹，单缝处波面各可分成几个半波带? 4在单缝衍射中，为什么衍射角愈大（级数愈大）的那些明条纹的亮度愈小? 5单缝衍射暗条纹条件与双缝干涉明条纹的条件在形式上类似，两者是否矛盾?怎样说明? 6光栅衍射与单缝衍射有何区别?为何光栅衍射的明条纹特别明亮而暗区很宽? 7 试指出当衍射光栅的光栅常数为下述三种情况时，哪些级次的衍射明条纹缺级?(1) a+b=2a; (2)a+b=3a; (3)a+b=4a。 | ||
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