李争路;岑剡
【摘 要】在“衍射光栅光栅常量的测定”实验中用矩孔代替光栅,利用菲涅尔-基尔霍夫积分公式,计算出平行光以任意倾斜角度入射后的光场分布公式,当平行光斜入射且接收屏与矩孔平面平行时,光斑分布图形为双曲线,并结合实验图像和计算机模拟,很好地验证了公式的正确性,解释了实验中观察到的现象. 【期刊名称】《物理实验》
【年(卷),期】2011(031)008
【总页数】4页(P43-46)
【关键词】平行光;光栅;矩孔;菲涅尔-基尔霍夫积分公式
【作 者】李争路;岑剡
【作者单位】复旦大学物理学系,上海200433;复旦大学物理学系,上海200433
【正文语种】中 文
【中图分类】O436.1
1 引 言
衍射光栅光栅常量的测定实验要求在测量过程中，平行光垂直光栅入射．如果平行光斜入射光栅会发生怎样的现象？对于这个疑问，本文试图通过理论分析和实验验证来回答，以帮助学生更好地理解实验调节过程中遇到的实验现象．
以光栅建立坐标系，如图1所示（灰代表不透光部分，白代表透光部分），垂直入射时，入射光平行于ζ轴．
图1 坐标系的建立
诱之以禽当平行光的入射方向在ζOξ平面内且与ξ轴有一定夹角时，有光栅方程［1－2］
其中，Δr为光程差，d为光栅常量，i为入射角，θ为出射角，k为出射的级次，λ为入射光波长．式中，当两角偏向法线同侧时，为加号；当两角偏向法线异侧时，为减号．
当入射平行光入射方向在ζOη平面内并且与η轴有一定夹角时，则可以看到如图2所示的衍射光斑呈曲线形分布（后文将证明当光栅与接收屏平行时，该曲线为双曲线）．逐渐减小入射平行光与η轴的夹角，曲线的曲率半径将逐渐增大．
图2 斜入射光斑分布情况（单缝衍射）
2 理论分析
下面以矩孔替代光栅（光栅可看作矩孔的推广），计算平行光以任意角度入射时的衍射光场分布．平行光以任意角度入射于矩孔（坐标系ξOη），出射光经薄透镜形成夫琅禾费衍射，衍射条纹呈现于接收屏（坐标系x O′y），此时透镜到接收屏的距离为透镜的焦距f．令接收屏平面与矩孔平面平行，且垂直于两坐标系原点连线．
采用如下的菲涅尔 －基尔霍夫积分公式［2－5］进行计算
其中为倾斜因子，为波矢．可分别对衍射后光场分布和衍射前光场分布U（ξ，η）进行计算以得到最后结果．
2．1 衍射后光场的计算
在傍轴条件下，且衍射场接收于薄透镜的后焦面时，可对（2）式作近似［2］1，r＝r0＋Δr≈f，其中r0为矩孔原点O出射的光到接收屏的光程，Δr为由其他点出射光与原点出射光的光程差．于是，在接收屏x O′y 上，光程差可表示为［2］：Δr＝－（ξsinθ1＋ηsinθ2），其中θ1 和θ2 是二维的衍射角（衍射方向的2个方向角的余角）［2］，将上式代入（3）式，有
2．2 衍射前光场的计算
定义入射光方向与ξ轴及η轴夹角分别为γ和δ，利用同样的方法［2］，可得入射前光程差为Δr＝－（ξcosγ＋ηcosδ）．又有平面波方程［5］：U＝U 0 eikr．令矩孔O点r＝0，把无关的系数并入U 0中，可得在矩孔上的光场分布函数为
2．3 最终光场分布的计算
将（5）式代入（4）式，经计算，得
其中该式与平行光正入射矩孔衍射公式形式非常相似，只是在原来的sinθ1和sinθ2处多出了与矩孔偏转角度有关的项．同时，光强可以表示为
稀土永磁
I＝｜U｜2＝
在（6）式中，令γ＝δ＝90°，此时为光线正入射矩孔，（6）式变为
即矩孔正入射时的光场分布［2，4］．所以，（6）式可看作平行光正入射矩孔后光场分．
注意到主极大条纹，满足sinθ1＋cosγ＝0，sinθ2＋cosδ＝0，即θ1与γ互余，θ2与δ互余，由此可得另一个重要结论：出射光主极大方向与入射光一致，这与实际观察一致．
3 实验结果分析及计算机模拟梼杌闲评
湿度3．1 光斑在接收屏的分布
利用（6）式和（7）式分析所观察到的现象．
取较为特殊的例子．令γ＝90°，δ≠90°，作单缝衍射，此时平行光入射方向在ζOη平面内且与η轴有夹角δ，从屏上（接收屏与矩孔平面平行）可以观察到如图2现象．由于计算时用矩孔，而矩孔衍射在y方向上也会有光强分布；当变为单缝、多缝或光栅情况时，只需考虑
矩孔情况下的在y方向上的主极大，即sinθ2＋cosδ＝0的情况，此时x方向与正入射衍射分布一致，且有
当倾角δ选定后，sinθ2为恒定值．
根据ξOη和x O′y坐标系的定义及两坐标系和透镜位置的关系［4］，有
其中，f为薄透镜的焦距，x为光斑在水平方向延展的距离．对上式变形，得到中华粉末冶金网
光斑的在接收屏坐标上的分布为双曲线的形式．
双曲线的弯曲方向由δ决定：当δ＜90°时，光斑向下弯曲；当δ＞90°时，光斑向上弯曲．假设令δ由90°逐渐向0°变化，在（8）式中，cot2δ逐渐增大，双曲线曲率增大，与观察到的现象一致．
3．2 实验验证与计算机模拟
设计了如下实验．装置如图3所示，使用632．8 nm氦氖激光器作为光源照射单缝．接收屏与单缝所在平面平行，接收屏上固定坐标纸用以描点读数．由于激光的准直性很好，实验
中没有使用透镜聚焦，而（6）式是利用透镜来消除透镜后的光程差，此处不使用透镜会导致接收屏上分布与（8）式略有不同，但在接收屏与单缝距离较小时，该误差较小，可忽略．此时（8）式中的f即为单缝和接收屏之间的距离．
图3 实验装置
衍射光斑在接收屏上的位置分布如图4所示，利用（8）式，对x 2和y 2作线性拟合，得到图5．图5中，拟合曲线为y 2＝72．2＋2．348x 2，由（8）式，可得到计算值（cot2δ）cal＝2．348，（f 2）cal＝30．750．实验中测量得到角度δ＝33．5°，f＝5．54 cm，即有实验值（cot2δ）exp＝2．283，（f 2）exp＝30．692，与计算值相差很小，相对误差分别为2．8%和0．2%．由此可以证明（6）式和（8）式的正确性．
图4 衍射光斑在接收屏上的位置分布
利用软件根据（7）式进行单缝衍射光强模拟，得到图6结果，与图2对比，光场分布情况一致．其中，模拟参数选择如下：λ＝632．8 nm，γ＝90°，δ＝60°，f＝10 cm，h＝1 cm，d＝10－4 cm，矩孔长宽比为10 000∶1，可看作单缝．
图5 数据处理与拟合
图6 计算机模拟
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