摘要：本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。首先简单介绍GeoGebra软件的窗口功能，简单绘图方法；之后对几种常见的多面体进行简单介绍；然后，结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体和截角正四面体、截半正方体的构造，进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra软件给数学学习带来的便利。最后，介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构造方法。
关键词：GeoGebra 多面体
1. GeoGebra软件简介
GeoGebra是一款动态数学画图软件，绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。GeoGebra的优越性体现在：一方面，GeoGebra是一个几何软件，可以在上面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数，也可以根据需要设计图形的颜、显示方式等；另一方面，也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图形名称的方式，直接画出所需要的图形。因此，GeoGebra既可以处理变化的量（例如数据、向量、角度等），也可以对数值进行计算（例如函数的微分和积分，求解方程等）。由此可见，GeoGebra是一款
可以处理代数问题也可以处理几何图形问题的软件。
下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。
图1.1
如图1.1所示，用户操作界面是标准的窗口操作界面，有代数区、绘图区、菜单栏和工具栏。其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息；绘图区显示所画出的图形，可以隐藏、设置颜等；菜单栏中的“窗口”选项和文件中的“新建”选项都可以创建新的图形。创建时可以建立新的绘图区域，在视图中可以选择该区域的类型（绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘图区等）。GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。1
2. 多面体图形简介
2.1多面体图形的基本性质
多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。常见的多面体有凸多面体、简单多面体、正多面体等，多面体图形有以下简单的性质：
i. 一个多面体最少由四个面组成。多面体按面数可以分为四面体、五面体、六面体
等。
ii. 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2。
2.2多面体图形的类型
多面体根据面与棱的分布特点亦可分为棱锥、棱柱、正多面体等。
局面的理解与判断
图2.1多面体图形
2.2.1正多面体
正多面体又称柏拉图体（Platonic Solids），指多面体的各个面都是全等的正多边形。共有五种：正四面体（Tetrahedron）、正六面体或正方体（Hexahedron或Cube）、正八面体（Octahedron）、正十二面体（Dodecahedron）、正二十面体（Icosahedron）。
2.2.2阿基米德多面体
阿基米德多面体（Archimedean So lids）又称半正多面体，是指由一种或多种正多边
形面组成，而又不属于正多面体的凸多边形，要求每个顶点的组态均一致，且不包含
柱体族（Prism） 和反柱体族（Antiprism）。2 阿基米德多面体共有十三种： i. 截角多面体：截顶四面体（Truncated tetrahedron）、截顶六面体（Truncated cube）、截顶八面体（Truncated octahedron）、截顶十二面体（Truncated dodecahedron）、截顶二十面体（Truncated icosahedron）。 ii. 截半多面体：截半正方体（Cuboctahedron）、截半十二面体（Icosidodecahedron） iii. 斜方截半多面体： 小斜方截半立方体（Rhombicuboctahedron）、大斜方截半立方体（Truncatedcuboctahedron）、大斜方截半十二面体（Truncatedicosidodecahedron）、小斜方截半十二面体（Rhombicosidodecahedron）。 iv. 扭棱多面体：扭棱正方体（Snubhexahedronccw）、扭棱十二面体（Snubdodecahedronccw） 2.2.3开普勒－庞索多面体either的用法
正多边形的边延长直到它们再度相交，便可得到一个星状多边形，比如将正五边形的 边延长直至再度相交，就可以得到五角星，将正八边形的边延长直至再度相交，就可 以得到八角星，将正十边形的边延长直至再度相交，就可以得到十角星。
上述过程即为平面上的“星化程序（Stellation）”。 若把此程序立体化将正十二面
体和正二十面体适当地星状化，即可得到四个“星状多面体”，即开普勒－庞索多面体（Kepler - Poinsot Solid）。
开普勒－庞索多面体共有四种：小星状十二面体（ Small stellated
Dodecahedron ）、大星状十二面体（Great stellated Dodecahedron ）、大十二面体（Great Dodecahedron ）、大二十面体（Great Icosahedron ）。
2.2.4柱体与反柱体
柱体族（Prism） 和反柱体族（Antiprism）被踢出了阿基米德多面体的家族。柱体族
和反柱体族是两类最基础的半正多面体，由两个正多边形和一圈正方形或三角形组成。这两类多面体各有无数种。
2.2.5其它多面体及其知名应用
2.2.5.1菱形六十面体
菱形六十面体（Rhombic Hexecontahedron）是worlframalpha的LOGO，
以其独特的数学气息而闻名于多面体世界中。
2.2.5.2 Spikey多面体
Spikey多面体图形是Mathematica的LOGO。Mathematica是一款科学计算软
件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。作为全世界应用最广泛的数学软件，Mathematica的logo也同样充满着数学气息。
2.2.5.3彩球二十面体
彩球二十面体是圆部式组合（Color Box）折纸的产物，圆部式组合由日本的圆部光伸首次提出，从组成来看，彩球二十面体由一个正二十面体和二十个正三棱锥组成。正二十面体的每个面上都“长”出了一个正三棱锥，便是彩球二十面体的结构了。在现实生活中，彩球二十面体是一种极具装饰性的多面体，用绳带挂起来可作为节日的饰物。
3. 使用GeoGebra软件构造基本多面体图形
这部分，主要根据多面体图形边、棱、面的关系，介绍用GeoGebra软件实现日常简单多面体构造的过程。通过这一过程，能够更加直观的展现多面体图形在空间中的结构分布及特点。
3.1动态旋转的正多面体
构造过程：
i. 构造两个点A、B
ii. 在输入指令栏里输入“正八面体（A，B）”，可以得到正八面体，如图3.1.1
图3.1.2
vi. 隐藏旋转前的正八面体，启动滑动条即可得到旋转八面体，即可以得到如图
3.1.3系列的旋转图。
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图3.2.3
v. 再次用多边形工具连接原正四边形中每个面上的点可得如图3.2.4（左）
正四面体截角后的图形，对不同面调节颜即可得到如图3.2.4（右）。
图3.3.1
v. 隐藏一切无关对象，只留下连接的线段。这样我们就得到了一个截半正方体，如
图3.3.2。
图3.3.2
vi. 使用多边形工具，在截半正方体的表面用多边形覆盖，隐藏所有线段。
vii. 调节多边形的样式，为多面体上。
4.复杂多面体的构造
上文介绍了绘制简单多面体的方法，这一部分介绍复杂多面体，如足球、五重四面体、彩球二十面体、开普勒－庞索多面体、菱形六十面体等多面体的构造方法。
4.1彩球二十面体的构造
构造思路：通过观察，可以发现彩球二十面体是从一个正二十面体演变而来，在每个面上长出了一个“角”，这个角是正方体的一个角。
彩球二十面体的构造方法：
i. 关闭绘图区，打开3D绘图区。
ii. 在坐标轴上构造两点A(-1,0,0) B(2,0,0) 。
iii. 在指令栏输入 正二十面体[A,B] 注：输入时指令栏会有提示。
iv. 输入完成后，得到一个棱长为3的正二十面体，如图4.1.1 。
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图4.1.2
ix. 使用3D中的垂线工具，过P点做所选平面的垂线。
x. 选取 球面(球心与半径) 工具，以P点为球心做球，半径为b，如图4.1.3 。
图4.1.4
xiv. 重复以上步骤，在正二十面体的二十个面上都做上一个角。重复时可使用新建工
具。
xv. 隐藏无关对象，得到彩球二十面体的骨架，如图4.1.5 。（除面心点外，其他点
先不要隐藏，上时会用到）。
图4.1.5
xvi. 上的过程可能会有些繁琐，还是使用传统的方法，用多边形工具对多面体的面
进行上。
4.2五重四面体的构造
构造思路：五重四面体的顶点连接起来是一个正十二面体。所以通过正十二面体顶点的相互连接进行构造。
五重四面体的构造方法：
i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。
ii. 在指令栏输入：正十二面体面体[A,B]，如图4.2.1 。（请确保正十二面体的各点
相对位置与图中一样，否则构造会混乱）
图4.2.2
4.3开普勒－庞索多面体的构造
构造思路：仿造平面星化程序，进行立体图形中的“星化程序”，得到开普勒－庞索多面体。
使用普通星化程序，可以得到小星状十二面体和大星状十二面体，以小星状十二面体为例。
小星状十二面体的构造方法：
i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。
ii. 在指令栏输入：正十二面体[A,B] 。
iii. 将正十二面体的每条棱延长，直至相交。使用直线工具将所有棱延长如图
4.3.1。
图4.3.2
4.4 Spikey多面体图形的构造
Spikey多面体图形的构造方法：
i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。
ii. 在指令栏输入：正二十面体[A,B]。
iii. 选择正四面体工具，单击正二十面体的一个平面，并选择构成这个平面的两个顶
点，构造出一个正四面体如图4.4.1。其它十九个面的方法相同。
图4.4.2
4.5菱形六十面体的构造
图4.5.1海门市东洲小学
构造思路：
这个多面体也可以从正二十面体构造得出。它其实是在正二十面体的每个三角形上长出来一个“尖”（如图4.5.1），这个尖是由三个菱形和三个三角形成的。注意这里的三角形不是正三角形，菱形也不是通常的“60°菱形”，而是一种叫做 Golden Rhombus 的菱形（黄金菱形），这种菱形的对角线长度之比刚好是黄金比例。通过在正二十面体的每个面上
构造一个“尖”，制作出整个菱形六十面体。
菱形六十面体的构造方法：
i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，2，0）。
ii. 在指令栏输入：正二十面体[A,B]。
iii. 过正二十面体的一个面上的三条棱及它们的对棱，分别做三个平面，如图4.5.2 。
图4.5.6
4.6截角二十面体的构造
截角二十面体的构造方法：
i. 构造两个点A（0，0，0）B（0，3，0）（棱长为3便于之后的构造）
ii. 在指令栏输入：正二十面体[A,B]
iii. 选取一个顶点，在这个顶点上构造一个以顶点为圆心，半径为1的球。做出球面
与棱的交点。因为之前已经将棱长设置为3，所以所得的交点即为每条棱的三等分点。其余十九个顶点如法炮制。
iv. 与之前的构造相似，在每个角截出一个正五边形。用线断连接相邻棱上的三等分
点，如图4.6.1 。
bpt
图4.6.2
5. 总结
本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。通过实例，用软件实现动态旋转的正多面体、截角多面体、截半多面体、彩球二十面体、五重四面体、开普勒－庞索多面体、Spikey多面体图形、菱形六十面体、截角二十面体的构造，由浅入深，由简单到复杂，展现多面体构造过程和GeoGebra软件在数学学习过程中使用的便利。
参考文献
[1] Geogebra[OL]. www.baike/wiki/geogebra, 2018.9.1
[2] 5个柏拉图体和13个阿基米德多面体的图形[OL].
www.360doc/content/17/0715/22/17799864_671617816.shtml. 2018.9.1
[3]简单常用的多面体[OL]. wenku.baidu/view/3275784cce2f0066f433220e.html?from=search. 2018.9.1
[4]多面体[OL]. elite.tut.edu.tw/~d04040173/repository/fetch/多面體.pdf. 2018.9.3
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