在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的,它们都叫做
欧拉公式,它们分散在各个数学分支之中。
(1)分式里的欧拉公式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c
恩格尔系数
(2)2)复变函数论里的欧拉公式:
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x,得到:
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。
(3)(3)三角形中的欧拉公式:
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=R^2-2Rr
(4)(4)拓扑学里的欧拉公式:
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓扑不变量,是拓扑学研究的范围。
asmuchas
(5)(5)初等数论里的欧拉公式:
欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子:
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。
北京市城市房地产转让管理办法
用欧拉公式证明:正多面体
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生产调度系统正多面体只有正四面体、正八面体、正六面体、正十二面何等和正二十面体五种。 我们现在来证明,最多只有5个正多面体(如图) 至于确有5个正多面体存在,那是早就知道的事(古希腊柏拉图(Plato)时候)。图形以及制造模型方法,可以参看史泰因豪斯(Steinhaus)著《数学万花镜》。① 证明 对于正多面体,假设它的各面都是正n边形,而且每一个顶角处有r个边相遇。这样就有: nF=2E (1) rV=2E (2) (1)的右边系数2是因为每边出现在2面中,(2)的右边系数2是因为每边通过2个顶角。把(1)和(2)代入欧拉公式中,就得到: 或 (3) 显然n≥3,r≥3,因为多边形至少有三边,而在每顶角处也至少有三边。但n>3,且r>3又是不可能的,因为那样就要有 ,可是E>0。所以r和n中至少有一个等于3。 设n=3,那末 ,因此r=3,4,5,由是E=6,12,30,而F=4,8,20,这就给出了正四面体,正八面体和正二十面体。 设r=3,那末 ,因此n=3,4,5,由是E=6,12,30,而F=4,6,12,这就给出了正四面体,正六面体(即立方体)和正十二面体。 |
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在几何学中,欧拉公式指的是——简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系:V+F-E=2。我们所学的几何体,如棱柱、棱锥等都是简单多面体。欧拉公式的证明方法很多。
证法一:逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E
以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1。
(1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。
(2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E=2。
对任意的简单多面体,谢尔宾斯基运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
证法二:计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(展开图),求所有面内角总和Σα
(1)在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为:Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF-2F) ·1800=(2E-2F) ·1800= (E-F) ·3600 (1)
(2)在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形,则其内角和为(n-2)·1800 ,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。
中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以,多面体各面的内角总和:Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=(V-2)·3600. (2)
由(1)(2)得:(E-F) ·3600=(V-2)·3600
所以,V+F-E=2。
谱纯