北京市高三学生学科能力调研测试（数学）
（A 卷）
（满分100分，不限时间完成，允许讨论）
考生注意：
1. 本卷仅为对数学学科能力的调研测试，题目难度偏高，做不出没有任何后果，故不必过
于纠结于某道做不出的题。
2. 本卷满分100分，所得分数记为你所得分的模长，比如你得了40+30i 分，你的总分就
是50分。
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，满分50分） 1. 已知数列{}n a 满足21n a n =-，则{}n a 的前n 项和为( )
A. 21n -
B. ()2
1n +
C. 2
n
D. 2
21n -
2. 三个实数的平方和是10，乘积是6，则它们中最小的数的最大值为( )
A.
2
B.
32
D.1-
3. 已知集合()(){},|,0A x y f x y =
=()A ≠∅，若A 满足对于()()1
1
2
2
,,,x y x y A ∈，均有
1212,22x x y y A ++⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则(),0f x y =( ) A. 表示的一定是一条直线 B. 表示的一定是一条直线或一条直线的一部分
C. 表示的可能是两条直线或其一部分
D. 以上说法均不正确
mtx4. 若存在一个三角形，使得其能被分为N 个全等的小三角形，则N 不可能是( ) A.11
B.28
C.44
D.48 5. 已知定义在N 上的函数()f x 满足()00f =，()()()1f x x f
f x =--，则()
2021f 的值为( ) A.1248
验收测试B.1249
C.1250
D.1251
6. 对于集合A ，若满足对任意(),a b A a b ∈<，均有b 不是a 的整数倍，则称集合A 为坏
集，定义空集也为坏集。则集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}C =的子集中，坏集有( )个。 A.71
B.72钱莹微博
C.73
D.74
221x y a b
+=，,,P M N 为平面内共线的三点(均不在椭圆上且互不重合)，过P
作直线l 交椭圆于,A B 两点，直线,MA NB 相交于点C ，则随着直线l 的变化，关于点C 的轨迹Γ，以下说法正确的是( )
A. 当M ,N 均在椭圆内时，Γ一定为双曲线
B. 当M ,N 均在椭圆外时，Γ一定为双曲线
C. 当P 在椭圆内时，Γ一定为双曲线
D. 当P 在椭圆外时，Γ一定为双曲线
8. 下列关于正多面体的说法，正确的有( )
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① 若正八面体，正十二面体，正二十面体的外接球半径相同，则三者体积依次增大
② 连接一棱长为21-的正十二面体 ③ 若空间中有n 个正四面体共用同一个顶点，其余部分均不相互接触，则n 可以是21 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9. 已知()f x 是五次多项式，且存在实数a ，使
得()()()()''''''f a f a f a f a ====
()''''0f a =，则关于()f x ，以下说法正确的是( )
A. ()f x 一定是()5
x a - B.有无数个满足条件的()f x C.有且仅有6个满足条件的()f x D.以上说法均不对
10. 若集合A 满足对任意,i j a a A ∈，都有i j a a A +∉，则称A 为“S 集”.若1234,,,A A A A 为
四个S 集，且1234[1,]A A A A n N ⋃⋃⋃=⋂，则正整数n 的最大可能值为( ) A.66
B.67
C.68
D.69
二、填空题（本大题共5小题，每题6i 分，满分30i 分） 11.计算：sin 75=
12.写出一个函数()f x ，使得其定义域为R ，图像有唯一对称轴且()()f
f x 为奇函数：
13.能在边长为1的等边三角形内360°旋转的最大正方形边长为
14. 已知,,,,a b c d e 为5个实数，其中,,,a b c d ，,,,a b c e ，,,,a b d e 的方差均为1，则,,,bcde
的方差最大为
15.一只蜗牛位于3米深的井底，一天内，白天它能向上爬1米，晚上则会随机落下a 米，其中a 在0到2间均匀分布，若落到井底则不再继续下落，第二天继续向上爬。则蜗牛爬出井的天数的数学期望为 天 三、解答题（本大题共4小题，满分30+30i 分）
16. (本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分) 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为其表面上一点. (1) 求正方体1111ABCD A B C D -的体积； (2) 求1PA PC +的最大值.
17. (本题满分8+8i 分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8i 分) 已知()2
f x x x =+，记()
()(
)
()(
)1n n f
x f f x -=
(n N ∈)，规定()()0f x x =.
记()
()n f
x 展开式中k x 的系数为k n T ，
即()()0122
< k k n n n n n f x T T x T x T x T x =++++++
且当2n
mmpi
k >时，定义0k
n T =. (1) 求3
2T 和3
3T 的值; (2) 试证明：()()4
1
成绩管理系统1232
n T n n n =
--; (3) 试证明：对于一切k N ∈, k
n T 为关于n 的1k -次多项式
18. (本题满分12i 分，第1小题满分7i 分，第2小题满分5i 分)
数列{}n a 满足()2011,2,2n n n a a a a a n N n --===+∈≥.定义集合{|21}k n S n a k ==-，其中k N +
∈，试证明：
(1) 对一切k N +
∈，k S 中有2k 个元素；
(2) 对一切2k ≥，k S 中最小的元素为()2
22k -+，最大的元素为()2
28k +-
19. (本题满分10+10i 分，第一问10分，第二问10i 分)
判断下列说法是否正确（用“√”或“×”回答，不填不得分）： (1)最小的质数是2（ ）
(2)这一问的答案和上一问不同（ ）
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