因为多面体和旋转体形状有差异，所以它们的内切球分开定义．若一个球与（凸）多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，这该球叫做多面体的内切球；若一个球与圆柱、圆锥、圆台所有底面和母线都相切，这该球叫做它们的内切球．几何体叫做球的外切几何体．
一、几何体的内切球问题教材觅踪
馒头标准1．119页课后练习
易知最大的球体零件应为正方体的内切球，这是上题的几何模型． 2．119页例４
上例涉及的模型是圆柱的内切球，此模型可是高中数学教材的常青树，近30余年，高中数学教材换了4次，始终与它难分难舍，这分明就是“爱的魔力转圈圈”，下面就请同学们欣赏它的时光流影：先看它20世纪90年代的旧照，它坐在最上面．
这个题，虽没涉及内切球，但相当于，同时圆锥也参与其中．绝大部分同学的爸妈学的就是这个版本．
下面是它跨世纪的英姿，它升级为例题了，此教材叫大纲版，山东省用了一轮就把它休了．
这个题的角度与上述例4不同，它刻画的是二者表侧面积之间的关系圆柱侧球S S =，32=圆柱球S S ．好事呀，这样结论就完全了．
bd留置针这是与我们擦肩而过的一个版本，目前仍是全国非高改区的数学教材，叫课标版，从2005年开始使用．
2009年诺贝尔生理学或医学奖
总之，我们山东省一向喜新厌旧，敢于尝鲜！
这个模型为什么备受青睐呢？那是因为有数学大佬挺它，而且至死不渝．谁呀？阿基米德，上剧情！
古希腊阿基米德被称为“数学之神”．他在《论球和圆柱》一书中公布了他的一个有趣的发现：一个内切于圆柱的球的体积和表面积，都分别是这个圆柱的．他对这个发现极为欣赏，以至于希望在他死后的墓碑上刻下这个图形．
约公元前265年，罗马人征服了意大利半岛，旋即向地中海其他地区扩张．战争的结果是，公元前146年伽太基帝国灭亡．在第二次布匿战争中，罗马人于公元前215年进攻阿基米德所在的叙拉古城．阿基米德以其天才的智慧和叙拉古人一起顽强地抵抗了三年，强大的罗马军团付出了惨重的代价．最后因为叛徒的出卖和弹尽粮绝而兵败城陷，阿基米德被杀．阿基米德死后，罗马将领马塞拉斯对这个难
以制服的对手表示了钦佩和尊敬．不但把杀害阿基米德的那个士兵作为杀人犯来处决了，而且为阿基米德举行了隆重的葬礼，并在墓碑上刻下阿基米德要求的那个图形，还刻有铭文“再
生乃故我”．
真有这个事吗？真有这样的墓碑吗？许多人认为这仅仅是一个
传说．光阴似箭，岁月如流．100多年过去．罗马政治家、雄辩家、
哲学家西塞罗在公元前75年任西西里总督，由于他仰慕阿氏，便趁
机去寻阿氏的墓地．他了很久，终于在荆棘丛生的杂草中到
了那块墓碑，见到了那个图形（如图）．于是他把荒芜的墓地修葺
一新．传说被证实．
但是，年深日久，墓地随岁月的流逝和战争的硝烟再次被废
弃．随着城市的发展，这个著名的古迹似乎永远消失了．然而，奇
迹又出现了．1965年，当叙拉古一家新建的饭店挖掘地基时，挖掘
机碰到了一块墓碑．人们惊奇地发现，上面刻着一个球内切于圆柱的图形．这不是阿基米德的墓碑吗？人们欣喜若狂．叙拉古人终于为他们这位空前绝后的伟人重建了茔墓：坟前立着那著名的石碑，碑上依然是那个阿基米德引为得意的图形和铭文．
二、几何体的内切球问题
（一）多面体的内切球
结论1：并非所有的多面体都有内切球．
结论2：正多面体（多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．我们比较熟悉的正多面体是正四面体和正六面体即正方体）一定有内切球，也一定有外接球，且两个球心重合． 结论3：如果直棱柱的底面多边形有半径为R 的内切圆，且高等于R 2，则它有内切球；如果斜棱柱的直截面（即与棱垂直的截面）多边形有半径为R 的内切圆，且高等于R 2，则它有内切球． 结论4：所有三棱锥都有内切球． 棱台不作介绍． 1．正多面体的内切球 例1 （福建三明2017年高一期末）已知正四面体ABCD 的棱长为2，则该四面体的内切球的表面积为 ．
分析：可运用上个专题给出的结论，即棱长为a 的正四面体的内切球半径为a 12
6求解． 解：因为该四面体的内切球的半径为662126=⨯，所以它的表面积为326642ππ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛． 评注：求所有多面体内切球的半径都有一个通法，那就是等体积法，求解公式为S
V r 3=（V 是多面体体积，S 是其表面积），就是把n 面体拆分成n 个高为r 的小棱锥．若用此法解答本例，需先求正四面体的高，可是它又不好求，有同学说用结论呀，那你直接用内切球半径结论不就得了，还走那个弯路做甚？
警察与外星人巩固1 （2018全国高中数学联赛江苏初赛）已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为___ __．38
加结论：正四面体的体积为312
2a ． 例2 （安徽黄山2019届高三质检）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积的比值为______．
分析：由正方体、正八面体及它的内切外接球的对称性，可知其外
高尔夫球会接球球心是正方体的中心，所以外接球半径为正方体棱长的一半，内切
球的半径可用等积法求解．
解：不妨设正方体的棱长为2，则21122=+=AB ，
所以222==ABCD S 正方形，所以正八面体的体积为
341232=⨯⨯． 又因为2
32432=⨯=∆ABE S ，所以正八面体内切球的半径3123834
fm2009下载3=⨯⨯
=r ，又易知八面体的外接球半径1=R ，所以该八面体的外接球与内切球体积之比为
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