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中学数学研究
2021 年第 2 期 (上)
江苏省南通市天星湖中学（226010）
钱 鹏
单或微专题导学单，从数学杂志或者各地模考题中挖掘题源,
进一步整合，从而达到解一题而通一类，是解题教学的目标 之一.
题目（2019年12月武汉市模考试题填空压轴题）已知
图2
AB
△ABC 的周长为9，若cos 内切圆半径r 的最大值.
探求结论往往明确解题方向.
注意到的对称性，猜想A = B
C =2 sin -，求 AABC 的时内切圆半径最大，此时A =B = C = 3，如图1所示，有r = I
D =AD _ V3
73 = ^"
解法1记AABC 的内角A,B,C 的对边为a, b, c ，如图2所示，则x +y +1 9z = 2 (a + b + c) = 2，贝9
A B r 2 1
tan tan =
=-,
2
2
xy
3
依题意可知S a abc =
1 (a + b + c ) r = (x + y + z ) r ,
由海伦公式得S a abc = ^/xyz (x + y + z )，所以r 2 =
，结合匕 =1可得x + y + z = 3z ，又因为
x + y + z xy 3
1 q 3
x + y + z = 2 (a + b + c )=-，所以 z =㊁，-+ y = 3，所以
r =但 < -—凶r = 3 < 273 = 2
A B 1注 对于tan - tan 导=*还有另一种转化方式.借助 于半角公式
A -
B . C
cos = 2 sin
2 2A - B C C C
O cos ——2——cos — = 2 sin — cos —
A-B O cos —.A + B
sm ^=sin C O sin A + sin B 2
=sin C Oa + b = 2c O c = 3, a + b = 6.
x sin x tan =
=
2 1 + cos x
以及正弦定理、余弦定理可得
1 A B sin A =tan tan =3
2 2 1 + cos A a 2 + c 2 - b 2 )
a 1 —
2ac
1 - cos x
sin x 1 — cos B
sin B
不妨设A (— 2,0), B (—, 0)，因为CA + CB = 6，所以点2 2
c 在椭圆x 9 + _2_ = 1上，所以
T
b 1+ b 2 + H
b 2 — (a — c)2(b + c)2 — a 2
s a abc = -AB |y
c
C 2 x 3 x
a+b -c b + c+ a
又 S a abc = 1(a + b + c) r = -r，故 r C 密，所以 AABC
的内切圆半径的最大值为 ¥.
解法2由
A - B
C A - B A + B
cos -
= 2 sin — O cos - = 2 cos --
A B . A . B J A B.A.B )"O cos cos + sin sin = 2 [ cos cos — sin sin
2 2 2 2 \ 2 2 22 丿
A B c • - • B
A
B 1cos cos = 3 sin sin tan tan =.
2 2 2 2 2 2 3
i 己△ABC 的内切圆I 切边AB, BC, CA 于点D, E, F ，记 AD = DF = x , BD = BE = y , CE = CF = z .
2bc
(b + a — c) (b — a + c)
(b + c — a) (b + c + a)
由 a + b + c = 9，得 a + b = 6, c = 3.
A B
由上述推导过程得到三角形的一个结论:tan - tan 导= a +
b —
c a+b+c
推广 若AABC 的周长为l , cos 迄 =C
k sin -(l > 1)，则AABC 的内切圆半径r 的最大值为
代一 [2，面积S a abc 的最大值为--『.
2(k + 1)2
4(k + 1)2
证明由
A -
B
C A - B A + B
cos -
= k sin — O cos - = k cos --
A B . A . B 畀 A B.A.B ) O cos cos + sin sin = k cos cos — sin sin
2 2 2 2 \ 2 2 22 丿
今(k — 1) cos — cos B 2 = (k + 1) sin — sin BB .
'本文系江苏省中小学教学研究课题“基于高中数学学业测评的微专题教学的实践与研究”（立项编号:2017JK12-L131）的阶段性成果
2021年第2期（上）
中学数学研究
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纯策略纳什均衡
一道最大值高考模拟题的探究
湖南省会同县第一中学（418300）
于先金杨瑜
摘要 本文对江苏省镇江市2018届高三上学期期末（一 模）统考试题第13题这道最大值高考模拟题的解法、推广和
变式进行了一些探究，开拓了视野，得到了一些精彩的结论.
一、 试题呈现，简洁对称
题目（江苏省镇江市2018届高三上学期期末（一模）统 考试题第13题）设a,b e R ，且a + b — 4，则^^ +
a 2 + 1
b 2 + 1
的最大值为___.
这道试题简洁、对称、优美，设有陷阱并有一定难度，主 要考查转化化归思想与运算能力，考查基本不等式的应用, 考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.
二、 几点疑问，引发探究
不少学生一拿到这道题，认为这还不简单，这是一道填
空题，只要结果不要过程，根据题设条件和目标式的对称性, 显然应该当a — b — 2时,y — 2 1 +仇1 ’取得最大值,工效学
a 2 + 1
b 2 + 1
2所以所要求的最大值为2.5
答案错了！错在哪里？赵尔丰
对这道模拟题，各种资料和网上都这样写道：本题考查
的内容是基本不等式，是一道原创题，考查的技能和能力是 转化化归思想与运算能力，答案是.遗憾的是都没有
给岀详细的解答过程，也许是解答过程过于简单的缘故.
对这道模拟题，学生都感到很盲然，答案为什么不是
22这个“正常”、“漂亮”、“合乎情理”的数，而是一个“怪
5
异”、“丑陋”、“岀人意料”的数 寺④.这道模拟题为什么
4 2
看似简单，却有陷阱和一定的难度，我们自然会问：-不是y
5
的最大值难道是y 的最小值？如果不是y 的最小值，那么,y 有最小值吗？能求岀y 的取值范围吗？增加一个怎样的条件
2
2才是y 的最小值？对这道模拟题能进行一些推广和变式
5
吗？带着这些疑问，引发了对这道模拟题的探究.
三、解法探究，殊途同归
解法1 （化归一元，不等放缩）
因为a + b — 4，所以可将目标式通分化简=1 1 = a 2 + b 2 + 2
y a 2 + 1 + b 2 + 1 a 2b 2 + a 2 + b 2 + 1
（a + b ）2 — 2ab + 2 18 — 2ab
a 2
b 2 + （a + b ）2 — 2ab + 1 a 2b 2 — 2ab + 17 ,
门= A B k - 1从而tan 石tan 石—----.
2 2 k+1
由题意得 a+b+c — l , S a abc — 2 (a + b + c) r — 2lr ,冯 诺依曼
因为 2 = -^A + + ，即
tan — tan — tan —
2 2 2
/ A B B C C A )r tan — - tan ----+ tan — - tan ----+ tan — - tan —1 = \2 2 2 2 2 2 丿2 = A B C
tan — - tan — - tan —
2 2 2
AB BC
在AABC 中，有三角恒等式tan — • tan ” + tan — • tan 可+
C 「tan — • tan —A-1，所以222r A - 〜tan — • tan * • tan —
/ABC )tan — - tan — - tan — —V 2 2 2 )22
C ， 所以
k - 1 C -tan —
2
k+1—l
㈡ tan
” 一 (A + B ) k+1
小摄影师教学实录
1
+ A + B tan --------2
12
1
2k - 11 — tan AB
—tan — i 2 2 l k + 1A tan 2B 2 +tan 兀
k - 12
1
k + 1
k + 1
AB tan ----+ tan —
2 2k - 1
1
AB 2 q / tan — - tan —
"- 2k - 1
k + 1A
V 2
k1
(k + 1)2
l (k 2 - 1) 12(k +1)2
1 -㈡k + 1A B tan ----+ tan —
2 2
所以S a abc — 1 lr 4 21罕二1
—竽二上，所以 2 2 2(k + 1)2 4(k + 1)2
当A — B , AABC 的内切圆半径r 的最大值为1代一 1):,
2(k + 1)2洁霉素
2l ，4 2" 2(k +1)面积S a abc 的最大值为
l 2(k 2 - 1) 1
4(k + 1)2
1r —-222
2
22
1
1
2k - 1
k + 1
2
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