5GNRLDPC码（1）——LDPC码设计原理
5G NR中规定了控制消息和⼴播信道⽤Polar码，数据传输⽤LDPC码的⽅案。
1. LDPC属于线性分组码，常⽤校验矩阵或者Tanner图来描述。 ⽤校验矩阵来描述LDPC码，可以清晰的看到信息⽐特和校验⽐特之间的约束关系，在编码过程中使⽤较多。
Tanner图把校验节点和变量节点分为两个集合，然后通过校验⽅程的约束关系连接校验节点和变量节点。如果为1，则有连线。圆圈为变量节点，⽅框代表校验⽅程。 2. LDPC为低密度奇偶校验编码，校验矩阵⼀般是⼀个稀疏矩阵，即其中只有⼀⼩部分元素是1，其余元素皆为0。对于校验矩阵为H的
LDPC码，其码字c满⾜Hc=0。定义列重为 i 的列所占的⽐例为vi，⾏重为 i 的⾏所占的⽐例为hi，称为度分布。
3. LDPC码基于消息传递算法进⾏译码，校验矩阵的稀疏性保证了译码算法复杂度随着码长线性增长。
LDPC码设计原理
LDPC码的校验矩阵或Tanner图决定了其性能。消息传递算法可以理解为在Tanner图上传递消息的过程，这些消息代表码字中编码⽐特值的概率分布。通过跟踪Tanner图上传递的消息，采⽤密度演进算法可以估计LDPC码的性能。另⼀⽅⾯，在实际应⽤中，LDPC码必须以低复杂度的描述和编译码来实现，⽀持灵活的资源调度和重传。随着LDPC码技术的发展，⼀些重要的技术特性涌现以满⾜这些需求。⽐
如，RL（Raptor Like）结构的出现使得LDPC码可以很好的⽀持多码率、多码长以及增量冗余混合⾃动重传请求（IR-
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炉温控制系统HARQ，Incremental Redundancy Hybrid Automatic Repeat request）；准循环（Quasi-Cyclic）结构使LDPC码的低复杂度、⾼吞吐的编译码器易于实现。针对这些关键技术，本节介绍LDPC码的设计原理。
1. 消息传递算法与密度演进
（1）消息传递算法
将Tanner图加以推⼴，可以得到更⼀般的因⼦图，⽤来描述多变量函数的结构，校验节点在因⼦图中称为函数节点，如果变量节点是某个因⼦函数（检验⽅程）的⾃变量，那么在因⼦图上各变量节点和函数节点之间通过⼀条边连接。
求解边缘函数时，利⽤因⼦图将⼀个复杂任务分解成多个⼦任务，每个⼦任务对应到因⼦图上的⼀个函数节点，这使得计算时不需要因⼦图其他部分的消息，且传送其计算结果仅由这些局部函数的⾃变量来承担，从⽽简化计算。计算边缘函数需要计算乘积和求和，所以基于因⼦图的这种计算边缘函数的算法也叫做和积（SP，Sum-Product）算法。
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在LDPC码的译码过程中，消息传递算法计算的是每个⽐特的后验概率（Posterior Probability），输⼊是来⾃于解调模块的各⽐特的先验概率(Prior Probability)，传递的是编码⽐特的概率分布，如LLR。对于⽆环的因⼦图，⼀次消息传递就可以求出所有变量节点的边缘函数。对于有环的因⼦图，需要通过多次迭代计算，才能逼近变量节点的边缘函数。 LDPC码的校验矩阵中⼀般都有环存在，所以消息传递算法是⼀种次优的逼近最⼤后验概率(MAP，Maximum A Posteriori)的算法。在设计LDPC码校验矩阵的过程中，增⼤最⼩环的环围(girth) ，使得消息传递译码过程中传递消息的相关度降低，是提升LDPC码性能的技术之⼀。
（2）密度演进
密度演进算法通过跟踪消息传递过程，可以评估校验矩阵的性能，以指导LDPC码的设计。在消息传递算法中，变量节点到校验节点之间传递的消息是编码⽐特为1或者0的LLR，其概率密度函数可以表征LDPC码的性能。
假设所有的消息概率密度分布是相互独⽴的，即信道是⽆记忆的。根据变量节点向校验节点的消息传递公式，输出消息的概率密度函数可以通过卷积获得。
ded由于密度演进算法需要⾮常复杂的概率密度函数计算，往往假设LLR服从⾼斯分布。由于⾼斯分布的卷积仍然是⾼斯分布，这近似 使得密度演进算法只需要追踪随机变量均值和⽅差的变化即可。密度演进算法可以计算出服从某种度分布的校验矩阵的译码门限，进⽽评估这种度分布情况下LDPC码的性能。
2. 速率匹配/HARQ
为了⽀持灵活调度和提升系统吞吐量，LDPC码需要⽀持多码率编码和IR-HARQ。
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⼀种⽅案与Turbo码类似，即先编码得到⼀个低码率(如LTE Turbo码采⽤1/3) 的母码，然后通过打孔实现⾼码率。当需要重传时，重传打孔⽐特以实现IR-HARQ。该⽅案使LDPC码和打孔⽅案的设计复杂度都很⾼。
LT码和Raptor 码的出现提供了另⼀种⽅案：Raptor-Like 结构的LDPC码(RL-LDPC)。RL-LDPC码先设计⼀个⾼码率的校验矩阵，然后通过扩展校验矩阵以增量产⽣校验⽐特，实现多码率编码，重传扩展的校验⽐特即实现了对IR-HARQ的⽀持。
在LDPC码的设计中，瀑布区(Waterfal Region，此区域内译码错误奉随信噪⽐增加快速降低)的性能和错误平层是⼀对⽭盾。 往往瀑布区较好的矩阵具有较⾼的错误平层，具有较低错误平层的矩阵瀑布区性能较差。
3. QC-LDPC码
⽀持多种信息块⼤⼩是LDPC码实⽤化的另⼀个设计要求。
如果直接根据信息块⼤⼩设计LDPC码的校验矩阵，则需要⾮常多个校验矩阵以满⾜5GNR调度的信息块颗粒度的需求，这对于LDPC 码的描还和编译码实现都不可⾏。QC-LDPC 码的提出使这个问题得以解决。
QC-LDPC码是⼀类结构化的 LDPC码，其校验矩阵可以分解为ZxZ的全零矩阵和循环移位矩阵。其中循环移位矩阵通过对ZxZ的单位矩阵向右循环移位获得。扩展之前的矩阵称为基矩阵[对应的Tanner图称为基图(BG， Base Graph)]，只包含元素“0”和“I”。
“0” 的位置替换为ZxZ的全零矩阵，“1” 的位置替换为ZXZ的循环移位矩阵。
QC-LDPC码的设计
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⾸先确定⼀个mxn的稀疏矩阵作为BG，然后复制这个BG，复制的倍数为Z，即矩阵变为mZxnZ。复制之后，对变量节点和校验节点之间的连线进⾏交织(这⾥是循环移位)，构成校验矩阵。已经证明， 通过优化设计mxn的BG，可以保证扩展之后的mZxnZ校验矩阵拥有较好的性能。BG的设计过程可以采⽤常规的LDPC码设计⽅法，⽐如通过密度演进算法挑选具有较好译码门限的BG。
QC-LDPC码的优点
第⼀，通过分析BG就可以对校验矩阵的性能有⼤致的了解。
第⼆，描述复杂度低。对于传统的LDPC码，当其需要⽀持较长的消息序列时，校验矩阵的规模巨⼤。然⽽对于QC-LDPC码，只需要描述BG中⾮0元素的位置和相应的循环移位⼤⼩即可。
第三，编译码复杂度低。由于其采⽤ZxzZ的循环移位矩阵，所以编码时可以实现并⾏度为Z的编码过程，译码时可以实现Z个校验⽅程相关消息的同时更新和传递，可以⼤⼤提升LDPC码译码器的吞吐量。
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