第⼗五章傅⾥叶级数 3收敛定理的证明
预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则 2a 20+∑∞=1n 2
长焰煤n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅⾥叶系数.
证：令S m (x)=2a 0+∑=+m
1
n n n sinnx )b cosnx (a ，则
π
π-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ
-2(x )f dx-2?ππ
-
m (x )f(x )S dx+?π
π
-2m (x
)S dx. 其中 ?π
π
-m (x )f(x )S dx=?π
π-0
f(x)2
a dx+dx cosnx f(x )a m
1
n π
π-n ∑?= ??+sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m
1横结肠
n 2n 2n )b +(a . 由三⾓函数的正交性，有 ?π
π-2
m (x )S dx=?∑??
++=π
π-2
m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =
π
π-2
02a dx+?∑??=+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴?ππ-2
m (x )]S -[f(x )dx=?π
写眞π-2
(x )f dx-2
πa -2π∑∞
=1n 2n
2n )b +(a +20a 2π+π∑=m
1n 2
n 2n )
b +(a
=?π
π-2
(x )f dx-20a 2π+π∑=m
1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m
1n 2
n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π
1dx 对任何正整数m 都成⽴. ⼜ ?ππ-2(x)f π
八度网上论坛成人1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞
=1n 2
n 2n )b +(a 的部分和数列有界，∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2
n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π
1dx.
推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则
cosnx f(x )lim
π
π
-n ?
∞→dx=sinnx f(x )lim π
π
-n ?∞→=0.
证：由2a 20+∑∞=1
n 2
n 2n )b +(a 收敛知，2n 2n b +a →0 (n →∞)，∴a n →0, b n →0, (n →∞)，∴cosnx f(x )lim ππ-n ∞→dx=sinnx f(x )lim π
π
-n ?∞→dx=0.
推论2：若f 为可积函数，则
x 21n sin f(x )lim π
n ??? ??+?
∞→dx=x 21n sin f(x )lim 0π-n ??? ?
+?∞→dx =0. 证：∵x 21n sin ?
+=cos 2x sinnx+sin 2
x
cosnx ，∴x 21n sin f(x )π
??
+?dx =sinnx 2x f(x )cos π0dx+cosnx 2x f(x )sin π0
dx =sinnx (x )F π
π-1?dx+cosnx (x )F π
π-2?dx ，其中
F 1(x)=≤≤<≤-πx 02x cos )x (f 0x π0，，；F 2(x)=??
≤≤<≤-πx 02x sin )x (f 0x π0，，.
可知F 1与F 2在[-π,π]上可积. 由推论1可知
sinnx (x )F lim ππ-1n ?∞→dx=cosnx (x )F lim ππ-2n ?∞→=0. ∴x 21n sin f(x )lim π0n ??? ?
+?∞→dx=0. 同理可证：x 21n sin f(x )lim 0
π
-n
+∞→dx =0.
预备定理2：若f 是以2π为周期的函数，且在[-π,π]上可积，则它的
傅⾥叶级数部分和S n (x)可写成S n (x)=
++ππ-2
t 2sin
t
21n sin t)f(x π
1dt ，
当t=0时，被积函数中的不定式由极限 2
t 2sin
t
21n sin lim
0t ??? ??
+→=n+21确定. 证：在傅⾥叶级数部分和S n (x)=2a 0+sinkx )b +coskx (a n
1
k k k ∑=中
代⼊傅⾥叶系数公式，可得：
S n (x)=?ππ-f(u)2π
1du +∑??=?
????? ??n 1k ππ-ππ-sinkx sinkudu f(u)+coskx coskudu f(u)π1 =?∑+=ππ-n 1k )sinkusinkx +kx coskuducos (21f(u)π1du=?∑??
+=ππ-n 1k x)-cosk(u 21f(u)π1du. 令u=x+t ，得S n (x)=?∑??
++=x -πx -π-n 1k coskt 21t)f(x π1dt ，
⼜被积函数周期为2π，且∑=+n 1
k coskt 21=2
t 2sin
t
21n sin ??? ?
+，∴S n (x)=
++ππ-2
t 2sin
t
21n sin t)f(x π
1dt. (f 的傅⾥叶级数部分和积分表⽰式).
收敛定理15.3证明：若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则
在每⼀点x ∈[-π, π]，f 的傅⾥叶级数2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f
在点x 的左右极限的算术平均值，即
2
0)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅⾥叶系数.
证：记f 的傅⾥叶级数的部分和为S n (x)=
++ππ-2t 2sin
t
21n sin t)f(x π
1dt.
∵???? ??
+ππ-2
t 2sin t 21n sin π1dt=?∑??? ??+=ππ-n 1k coskt 21π1dt=1；
⼜上式左边为偶函数，∴两边同时乘以f(x+0)后得：
2
0)f(x +=
++ππ-2
t 2sin
t
21n sin 0)f(x π1dt.
令φ(t)=-2t sin 20)f(x -t)f(x ++=-2
t sin
美国共和党大会2
t
t 0)f(x -t)f(x ?++, t ∈(0,π].
则φ(t)lim 0t +
→=-f ’(x+0)·1=-f ’(x+0).
再令φ(0)=-f ’(x+0)，则φ在点t=0右连续.
⼜φ在[0,π]上⾄多只有有限个第⼀类间断点，∴φ在[0,π]上可积. 根据预备定理1的推论2，有2
t 2sin
t
21n sin t)]f(x -0)[f(x π1lim π0n ??? ??
+++?∞→dt=t 21n sin φ(t)π1lim π0n ??? ??+?∞→dt=0，∴??????????????? ??
+++?∞→dt 2t 2sin
t 21n sin t)f(x π1-20)f(x lim π0n渔业水质标准
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