学院：统计与数学学院
班级：09信息与计算科学
摘要：可测函数列的收敛性有很多种,如几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛等.叶果洛夫(Egoroff)定理给出了几乎处处收敛与几乎一致收敛的某种关系,黎茨(Riesz)定理给出了依测度收敛与几乎处处收敛的某种关系,那么几乎处处收敛与依测度收敛还有什么关系？本文就此问题进行证明.
关键字：叶果洛夫(Egoroff)定理、勒贝格(Lebesgue)定理、依测度收敛、几乎处处收敛
定义1 如果存在,使在上收敛于,则称几乎处处收敛于,记为.
定义2 (1)如果,自然数,当时对一切,有,则称一致收敛于黄金第一案.
(2)如果,存在可测子集使且在上一致收敛于,则称基本一致收敛于或几乎处处一致收敛于.
定义3 如果,成立,则称依测度收敛于,记为.
定理一(叶果洛夫(Egoroff)定理) 设,是上一列可测函数且收敛于一个有限的可测函数,则上海大学bbs基本一致收敛于,即,使且在上一致收敛于.
定理二(叶果洛夫(Egoroff)定理的逆定理) 设是定义在可测集上的一列可测函数,且在上基本一致收敛于,则在上必有.
定理三(黎茨(Riesz)定理) 设是定义在可测集上的一列可测函数,且在上,则存在的子序列使在上
定理四(勒贝格(lebesgue)定理) 设,是定义在上的一列可测函数,且在上,则.
定理中的条件：1
2是上一列几乎处处取有限的可测函数
3于,于.
的含义是3g认证：对于事先给定的无论怎样小的误差,使那些点的集合的测度随无限增大而趋于,可以用语言描述为, ,自然数当时有.
证明：由叶果洛夫(Egoroff)定理,可测子集使且在上一致收敛于
由一致收敛性定义可知：对任意,自然数当时
恒有,
当有
所以 当有
所以根据的含义再由
可得
即
注意：1定理的条件不可少
取,令且n=1,2,3…
显然在上处处成立,但有
,在上不依测度收敛于.
2勒贝格(lebesgue)定理的逆定理不成立
取并令 (n=1,2,3…;j=1,2,3….)
把中的函数先按n的大小,再按j的大小排成
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设是这序列第N(n,j)项,即
有0
(当)时即
但当时,无论n如何使
因而或
这就是说中即含有恒等于1的子列又含有等于0的子列
所以它是发散的
参考文献：实变函数与泛函分析简明教程 高等教育出版社 张晓岚编著
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