分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两
个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对 保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某
一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为
定值。如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因
此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。保角变换方法(conformaltransformationmethod)
保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以 简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二
维的静电势问题。通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变
换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边
值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的
解φ′(x′,y′)。由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。由于通过解析函数变换时，分别
在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射
英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域
D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称
f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。【局部保角映
射】如果对于区域D内任意一点，存在一个邻域使f(z)在这个邻域内映射是保角的，则称f(z)是D内的局部保角映射。【保角映射的一些定理】(1)函数f(z)是区域D内的局部保角映射，当且仅当f(z)在D内解析，且f'(z)不等于0.(2)设f(z)是区域D内的解析单射，则对于任意z属于D,f'(z)不等于0.【保角映射的主要题型】(1)判别一个映射，是否是保角映射.(2)已知映射及一个区域，求像区域.(3)已知两个区域，求映射.以上(2)，(3)题目较为灵活.故必须熟练
掌握各种基本映射(整式线性映射、幂函数映射、指数函数映射等)的特点及一
些基本区域之间的映射(或变换).保角映射(保角映射=保角变换凡具有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射)弦的的任意扰动总是以行波形式向不同方向传播，并且传播速度是弦振动方程的常数。行波法由初始扰动所引起的震动就
会一往无前的传播出去，形成行波因此解决此问题的方法叫行波法，达朗贝尔
公式是解决行波法的工具。
典型方程及其解法
甲氨基阿维菌素
第二节分离变量法
分离变量法是解数理方程的重要方法之一，它的目的是把偏微分方程的求
解化为常微分方程的求解。
1常用正交坐标系中微分算子的表达
以直角坐标系()为基础，对任意其他三维正交归一完备系()
如果有，，;
我们称为方向的无穷小固有间隔，为方向的无穷小坐标间隔。对于直角坐
标系
()，；对于球坐标系()，，，；对于圆柱坐标系()，，，。
则梯度算子与拉普拉斯算子在正交坐标下可写成:
(2-2.1)
如梦令赏析(2-2.1)
对于球坐标系(2-2.3)
对于圆柱坐标系(2-2.4)
2两端固定的弦振动问题
(1)方程的建立
arm linux对弦上任一元段列出牛顿方程
当很小或弦长度基本不变，有，
于是
令
记，方程可整理为
并且满足边值条件(两端固定)
和初始条件，(初始位置和速度)
(2)分离变量
设，偏微分方程化为两个本征常微分方程: 时，有解由边界条件，此为平庸解;
时，有解
由边界条件，且()
同时，对于解得
所以求得本征解
通解写成本征解的叠加
利用初始条件
来确定并讨论其收敛性，其中
可以证明当有连续1、2阶导数和分段连续的3阶导数，有连续1阶导数和分段连续的2阶导数时，级数解保证绝对一致收敛。
练习2-2.1请读者编程计算模拟初始位置为一三角形，而初速为零的动态解。
3平面电磁波的亥姆霍茨方程
把一维弦的波方程推广到三维形式的波方程即为
能人于四
(2-2.5)
对于无限大均匀理想介质和无源区域，麦克斯韦方程可写成以上形式:
(2-2.6)
(2-2.7)
其中为电磁波在介质中传播的速率。对于随时间正弦变化的电磁波，则满足矢量齐次亥姆霍兹方程:
(2-2.8)
(2-2.9)
其中。进一步设平面波沿z轴方向传播，采用圆柱坐标
先求
兽兽车展
在圆柱坐标中展开
其中。分离变量得两个常微分方程
令，为标准贝塞尔方
有通解，由于当，，不合理，所以
，于是；方程显然有解；最后解得
波士顿矩阵法(2-2.10)
再利用麦氏方程和在圆柱坐标中的表达式: 于是有
(2-2.11)
(2-2.12)
(2-2.13)
(2-2.14)
(2-2.15)
(2-2.16)
对于TM波，所以
，
联立求得
整理得
或
或
最后得(2-2.17)
(2-2.18)
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