课程编号：MTH17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期 级数学专业数学分析Ⅲ时期考试〔一〕试题
是中的调和函数，S是中任意的分片滑腻闭曲面。求证：，其中和别离表示函数和沿S外法线方向的方向导数。 ’天空游戏宝典Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕 〔5〕
。又设广义极限存在。求证：
当〔含〕时，级数发散。
的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。
收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。
，且有极限。求证：数列收敛，且。
存在，又设绝对收敛。求证：。
报告格式课程编号：MTH17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期
2021级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷
一、〔15分〕〔1〕设数项级数与均绝对收敛，问：是不是必然收敛？为何？假设是收敛，绝对收敛，那么是不是必然收敛？为何？
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〔2〕设，绝对收敛，又设的n次部份和序列有界，求证：收敛。
二、〔10分〕设单调递减，且泰晤士报高等教育；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。
三、〔15分〕设对每一个自然数n，函数在数集E内有概念，
〔1〕用确信语气表达函数项级数在数集E内不知足一致收敛的Cauchy准那么的严格含义；
〔2〕设存在数列和，知足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准那么证明函数项级数在数集E内一致收敛。
四、〔10分〕设，求证：收敛。
五、〔15分〕研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：
钢便桥〔1〕函数项级数的和函数在其收敛域内持续；
〔2〕函数项级数在其收敛域内不一致收敛。
六、〔10分〕设。
〔1〕求证：函数序列在中内闭一致收敛；
〔2〕用两种方式证明在内不一致收敛。
七、〔15分〕〔1〕求幂级数的收敛域及和函数；
〔2〕求函数的Maclaurin级数展开式并确信收敛区间。
八、〔10分〕设函数在区间I内概念，且，在区间I内一致持续；又设时关于x在I内一致收敛于。求证：在区间I内一致持续，且在区间I内等度持续，即，使得，只要，就有。
九、〔10分〕设函数序列在区间内点态收敛于极限函数，且，极限存在；又设当时等度收敛于，即，使适当时，，都有，求证：与都存在，且二者相等。
〔第八题、第九题二题中任选一题〕
课程编号：MTH17169 北京理工大学2021-2021学年第一学期
2021 级数学与统计学院数学分析Ⅲ期中考题
1.〔20分〕讨论以下正项级数的收敛性。
〔1〕； 〔2〕； 〔3〕。
2.〔30分〕判定以下级数是不是收敛；假设收敛，是绝对收敛仍是条件收敛？pci板卡
〔1〕； 〔2〕。
3.〔15分〕求幂级数的收敛半径和收敛域，并求出和函数的表达式。
4.〔15分〕设和都在区间I上有界，，而且在I上一致收敛于，在I上一致收敛于。证明：在I上一致收敛于。
5.〔20分〕设，证明：
〔1〕在其概念域内持续；〔2〕在区间上可导；
〔3〕。
课程编号：MTH17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期
2021级数学专业数学分析Ⅲ第三次时期练习
一、判别敛散性：〔1〕； 〔2〕； 〔3〕。
二、设单调递减，且，求证：收敛当且仅当收敛。
三、设，求证：收敛。
四、〔1〕求函数的Maclaurin级数展开式并确信收敛区间；
〔2〕求幂级数的收敛域及和函数。
五、〔1〕证明无穷级数收敛，并求其和；
〔2〕设，求及的表达式。
六、设对每一个自然数n，函数在数集E内有概念，又设，都有，求证：函数项级数在数集E内一致收敛。
七、设收敛，其中为定数，求证：〔1〕幂级数在内绝对收敛；〔2〕，幂级数在内一致收敛。
八、设有广义积分，问：取何值时绝对收敛？取何值时条件收敛？取何值时发散？
九、求广义积分的收敛域I，并证明：
〔1〕函数在I内持续；〔2〕广义积分在I内不一致收敛。
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