证：
→不妨设E为实n维赋范线性空间，则E与Rn拓扑同构
而Rn中任意有界闭集是紧的，由紧集上的连续函数定理知E的任意有界闭子集是紧的，即E局部紧 ←设E无限维但任意有界闭子集是紧的
S是E中的单位球面：S={x:||x||=1}则S是E中的紧集
由里斯定理：
x1S,x2S,ST,||x2-x1||≥1/2,x3S,ST,||x3-xi||≥1/2,(i=1.2)
… …类推，由E无限维，故可取S中的一个系列元素x1,x2…xk…
ST，||xk-xl||≥1/2,显然｛xk｝无收敛子列，矛盾 X是完备的距离空间，T:X→X,x,yX,ρ(Tx,Ty)≤θρ(x,y),0≤θ<1,则T中存在唯一不动点x`,ST,Tx`=x`,&&x`可用迭代法求出 证：
x0X,Set,x1=Tx0,…，xn+1=xn…则ρ(x1,x2)≤θρ(x0,x1) …
ρ(xn,xn+p)≤（θn+θn+1+…+θn+p）ρ(x0,Tx0)=θnρ(x0,Tx0)/(1-θ)→0
则{xn}是基本点列，又因为X完备，故{xn}收敛于某x`X
ρ(Tx,Ty)≤θρ(x,y)知T连续，xn+1=xn令n→∞得x`=Tx`即x`是不动点
设另有不动点y`X,则ρ(x`,y`)≤θρ(x`,y`)得ρ(x`,y`)=0即x`=y`
闭图像定理：T是E到E1的闭算子，E，E1都是B空间，则T有界
证：
E,E1是B空间，则EE1也是B空间，||(x,y)||=||x||+||y||
设G是EE1的闭子空间，则G也是B空间
定义：T`：G→E,T`(x,Tx)=x,则T为双射
再者由||T`(x,Tx)||=||x||≤||x||+||Tx||=||(x,Tx)||知T`有界
故T`有有界逆算子T~,则xE,(x,Tx)=T~x
→||(x,Tx)||≤||T~||||x||→||Tx|||T~||≤||x||即T有界
P66
9.(a)略(b)提示：设A={多项式全体}，每个函数都有傅立叶展开式
11.(a)略(b)提示：同胚即双射，距离之间存在双射，要连续的
17.证明第三节例题六的空间L∞[a,b]是完备的距离空间
证：
取基本点列｛xn｝L∞[a,b]
ε>0,NΝ,m,n≥N时||xm-xnprototype||<ε
故[a,b]中的Lebesgue集{Emn}ST||xm-xn||=SUP{xm-xn|x[a,b]/Emn}
Set E=Emn[a,b],则x[a,b]/E，m,n≥N时
|xm-xn|≤SUP{xm-xn|x[a,b]/E}≤||xm-xn||<ε
故x[a,b]/E时，{xn}是实基本列，必收敛于某实数x
显然x可测，令m→∞则n≥N时|x-xn|<ε在x[a,b]/E成立
x-xnL∞[a,b]故xL∞[a,b]&&|x-xn|≤SUP{x-xn|x[a,b]/E}≤ε
即xn按L∞[a,b]的距离收敛于x，即L∞[a,b]完备
34.证明lp中的子集A准紧的充要条件是：
双子星传奇
(a)k>0,ST,x={ξ1,ξ2…ξn…}A,<k
(b)ε>0,N>0,ST,m>N时，xA,<ε
(a).证：
→A准紧，则A全有界，则A有界可分（对应定理4.1，4.2）
←k>0,ST,x={ξ1,ξ2…ξn…}A,<k,即收敛
由准紧的定义，A中每个点列必含有收敛子列，故A准紧
注：A准紧的充要条件是A有界+A等度连续
(b).命题与（a）等价
P124
1.V[a,b]是定义在[a,b]的有界变差函数全体，线性运算与C[a,b]相同，定义范数：||x||=|x(a)|+Va黑箱法b(x),证明V[a,b]按||·||是不可分B空间
证:
V[a,b]是线性空间，易证范数满足范数公理，故只要证完备性即可
取V[a,b]中的基本列｛xn(t)｝，ε>0,NΝ,m,n≥N时||xm-xn||<ε
易知xn(t)一致收敛，令Lim xn(t)=x(t)，以下证其是有界变差函数
设Δt>0,因为xn右连续（有界变差的条件之一）且
|x(t)-x(t+Δt)|≤|x(t)-xn(t)|+|xn(t)-xn(t+Δt)|+|x(t+Δt)-xn(t+Δt)|
故x右连续。
||xn-x||→0(n→∞),因为xn(t)是基本列，所以ε>0,NΝ,m,n≥N时
|xm(a)-xn(a)|+|[xm(ti)-xn(ti)]-[xm(t乐果q7i-1)-xn(ti-1)]|≤||xm-xn||<ε
对一切分割成立，令m→∞得：
|x(a)-xn(a)|+|[x(ti)-xn(ti)]-[x(ti-1)-xn(ti-1)]|≤ε
对分割取上确界，得||x-xn||≤ε即xn按V[a,b]的距离收敛于x
所以xV[a,b]即V[a,b]是完备的
设xλ(t)=令K=xλ(t),λ[a,b]显然K是不可数的
以K为中心2/3为半径作开球，这种开球组成的类不可数
若V[a,b]可分，则可数子集{yk}在V[a,b]稠密
故上述每个球必含yk中的点，而球类不可数，故一定有yk属于两不同的球，
不妨设为：S(xλ,2/3)S(xα,2/3)，xλ,xαK,则：
2=ρ（xλ,xα）≤ρ（xλ,yk）+ρ（yk,xα）<2/3+2/3,矛盾，故V[a,b]不可分
22.H表示如下函数的全体：xL[0,2π],x(t)~+
且n<+∞，令||x||H=，证明H是H空间
证：
作T：x→x`=+,易知T是H→L2[0,2π]的等距算子，下证其为满射
x`L2[0,2π],x`=+令得：x`=+，显然n<+∞
故xL2[0,2π],ST,x=+,右边级数收敛，易证x~+H
即x`L2[0,2π],xH,ST,Tx=x`即T是满射，故H与L2[0,2π]等距同构，又L2[0,2π]是H空间，故H是H空间
39.Ln(t)=为Laguerre函数，证明｛Ln(t)｝是L2[0,∞)中的个完备规范正交系
证：易知Ln是n次多项式
k<n时，
Ln(t)dt=dt=(-k)dt=…=0
故m>n时：Ln(t)Lm(t)dt=0,m=n时Ln2(t)dt=（n!）2氍毹上的尘梦.
｛Ln(t)｝是规范正交系，又多项式全体在L2[0,N]稠密
｛Ln(t)｝张成的空间在L2[0,N]稠密，将L2[0,N]中的函数延拓到[0,∞)，ST，其在[0,N]处处为0，而L=L2[0,N]在L2稠密
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