1．设f（x）是以2π为周期的周期函数，且f（x）=x，－π<x<π，求f（x）与|f（x）|的Fourier级数，它们的Fourier级数是否一致收敛（给出证明）？[北京大学研] 解：将函数f（x）延拓到整个数轴上，由于f（x）是（－π，π）上的按段光滑的奇函数，故其中Fourier展开式是正弦级数． 2014浙江高考英语
所以当x∈（－π，π）时，有
当x=±π时，级数收敛于
将|f（x）|延拓到整个数轴上，由于f（x）是（－π，π）上的按段光滑的偶函数，故其Fourier 展式是余弦级数．
．
所以当x∈（－π，π）时，有
当x=±π时，级数收敛于
f（x）的Fourier数在（－π，π）内非一致收敛，因为在端点x=±π处级数收敛，假若级数在（－π，π）内一致收敛，则级数在[－π，π]上一致收敛，和函数应在[0，π]上连续，矛盾．而由一致收敛定理易知|f（x）|的F0urier级数在（－π，π）上一致收敛．
2．设函数f在上可积，为f在上的Fourier系数，证明：
收敛．[北京化工大学研]
证明：由Bessel不等式知收敛，又，所以收敛．
3．在上把下列函数展开成Fourier级数[南京航空航天大学研]
解：易知f（x）足上的偶函数，故．根据Fourier级数的展开式的系数公式得
柯西不等式
所以，故其Fourier级数为
4．将展开成Fourier级数，并证明
[上海大学研]
解：由于
所以f（x）的Fourier级数为
由收敛定理知
于是
结论得证．
5．设是周期为2π的连续函数，且其傅里叶级数处处收敛，求证这个傅里叶级数处处收敛到．[北京大学2009研]
斑蝥酸钠证明：设
廉政风暴由费耶定理，知一致收敛于，所以
故收敛于．
6．令f是R上周期为2π的函数，当－π≤x≤π时满足
（1）证明f的傅里叶级数具有形式，并写出的积分表达式．
（2）该傅里叶级数是否一致收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
（3）证明[中科院武汉物理与数学研究所研]
解：（1）由于是奇函数，所以f的傅里叶级数具有形式，且
（2）不一致收敛．由傅里叶级数收敛定理知
由于在[－π，π]上连续，但和函数在[－π，π]上不连续，所以该傅里叶级数不一致收敛．
（3）由于在[－π，π]上可积且平方可积，所以Parseval等式成立
施韦泽
7．展开f（x）＝|cosx|为[－π，π]上的傅里叶级数．[华中科技大学2012研]
解：因为f（x）为偶函数，所以另外
四象限探测器因此f（x）＝|cosx|在[－π，π]上的傅里叶级数为
8．设周期为2π的可积函数与满足关系式，则给出函数的傅里叶系数与函数
的傅里叶系数之间的关系．[江苏大学研]
解：作变量替换x＝－t，有
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