函数列与函数项级数的一致可导性

李怡靓;李克典

【摘要】运用函数的一致可导性与其导函数的一致连续性之间的关系,结合函数列的等度连续,探讨了函数列和函数项级数所确定的函数的一致可导性,并证明了一致可导函数列的极限函数(函数项级数和函数)的导函数与其导函数列的极限函数(导函数项级数的和函数)是一致的.

【期刊名称】《闽南师范大学学报：自然科学版》

【年(卷),期】2017(030)004

【总页数】6页(P17-22)

【关键词】开颅血肿清除术一致可导;;等度连续;;一致收敛;;函数列;;函数项级数

【作者】李怡靓;李克典

【作者单位】[1]闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000;;[1]闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000;

【正文语种】中文

【中图分类】O173.1

1 函数的一致可导性

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函数的连续性和可导性仅是一个局部概念，并不能反映函数的整体性质.因此，数学分析教材引入一致连续的概念，是用来描述函数的整体性质.仅仅通过函数的一致连续性来描述函数的整体性质往往是不够的，为了利用导数研究函数的形态，文[1]引入了一致可导的概念，之后对函数的一致可导有进一步的探讨，文[2-3]分别讨论了一致可导的相关定理和多元函数的一致可导性，本文继续讨论函数的一致可导性，探索函数列(函数项级数)所确定的函数的一致可导性，并证明了一致可导函数列的极限函数（函数项级数和函数）的导函数与其导函数列的极限函数（导函数项级数的和函数）是一致的.

定义1.1[2]设函数 f（x）在区间I上可微，对于任意的＞0，存在 δ＞0，对任意的 x,t∈I只要

有 0＜总有，则函数 f（x）在区间I上一致可导.友商快递100

引理1.1[2]函数 f（x）在区间I上一致可导的充要条件是 f（x）的导函数 f′（x）在区间I上一致连续.

2 函数列的一致可导性

我们知道，每项都连续的函数列在一致收敛的条件下，其极限函数具有连续性、可积性.

命题2.1[4]（连续性）若函数列｛fn（x）｝在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数 f（x）在I上也连续.

命题2.2[4]（可积性）若函数列｛fn（x）｝在闭区间［a，b］上一致收敛，且每一项都连续，则

对于每项具有连续导数的函数列，在每一项求导数后构成函数列一致收敛性的条件下，函数列的极限运算与求导运算可以交换.

刚度比命题 2.3[4]（可微性）设｛fn（x）｝为定义在［a，b］上的函数列，若 x0∈［a，b］为｛

fn（x）｝的收敛点，｛fn（x）｝的每一项在［a，b］上有连续的导函数，且在［a，b］上一致收敛，则

命题2.3引发我们思考，对于每一项都是一致可导的函数列，在一致收敛的条件下，其极限函数是否具有一致可导性呢？下面的定理给出这个问题的回答.

引理2.1 设｛fn（x）｝是定义在区间 I上的函数列，fn（x）的每一项在区间 I上一致可导，若函数列在区间 I一致收敛，且存在 x0∈I使得为有限数），则函数列 fn（x）在区间 I上收敛，其极限函数在区间I可导且对每一个x∈I有

证明对于任意 x∈I，由于每一项 fn（x）的在区间I上一致可导，所以在以 x0与 x为端点的闭区间上一致连续且

又因为函数列在区间 I上一致收敛，设 g（x）是导函数列在区间 I的极限函数.根据命题2.1和命题2.2，g（x）在区间I连续，且有

于是，

当 n→∞时，存在极限，即

记其极限函数为 f（x），有

由 g（x）的连续性及原函数的存在定理，可知函数 f（x）在 x∈I可导，且有

即有

这就证明了函数列极限函数的导函数与导函数列的极限函数是一致的.

定理2.1设｛fn（x）｝是定义在区间I上的函数列，f（x）是函数列｛fn（x）｝的极限函数.若对于每一个n，函数 fn（x）在 I上一致可导，且函数列在 I上一致收敛，则 f（x）在区间 I上一致可导.

证明由引理2.1可知，函数列在区间 I上一致收敛于 f′（x），即使得 n＞N时，对x∈I，有

根据引理 1.1，由于函数列的每一项在区间 I上一致可导，因此，函数列的每一项在区间I上一致连续，即对上述及 n0=N+1＞N，Eδ＞0，对于任意的 x1，x2∈I满足时，有

对于任意的 x1，x2∈I，由(1)式，有

于是当 x1，x2∈I且时，有

由此可知，f′（x）在区间I上一致连续.再由引理1.1可知，f（x）在区间I上一致可导.

我们已经知道，等度连续是函数列重要性质的刻画，闭区间上等度连续且收敛的函数列是一致收敛的[5].因此，在闭区间上减弱定理2.1的条件，可得到下面的定理.

定理 2.2设｛fn（x）｝是定义在闭区间［a，b］上的函数列，f（x）是函数列 fn（x）的极限函数.若对于每一个 n，函数 fn（x）的每一项在［a，b］上二阶可导，函数列在［a，b］收敛，且函数列在［a，b］一致有界，则 f（x）在［a，b］上一致可导.

021导弹艇证明由条件，函数列在［a，b］一致有界，根据区间上导函数列一致有界的函数列是等度连续的[5]可知，函数列在［a，b］上等度连续.由条件，函数列在［a，b］收敛，根据闭区间上等度连续且收敛的函数列是一致收敛的[5]，所以有在［a，b］上一致收敛.由于函数列 fn（x）的每一项在闭区间［a，b］上二阶可导，所以函数列列的每一项在［a，b］上连续；由 Cantor定理，函数列的每一项在［a，b］上一致连续，再根据引理 1.1，函数列｛fn（x）｝的每一项在闭区间［a，b］上一致可导.于是，由定理 2.1，在 f（x）上［a，b］一致可导.

例2.1设

余书华是定义在［0，1］上的函数列，试说明函数列｛fn（x）｝虽不满足定理2.1的条件，但其极限函数 f（x）在［0，1］上一致可导.

解函数列｛fn（x）｝的导函数列为

显然，导函数列的每一项在［0，1］上均是连续的，故由 Cantor定理可知，导函数列的每一项在［0，1］上均一致连续，从而，函数列｛fn（x）｝的每一项在［0，1］上均一致可导.容易验证，对于每一个 x∈［0，1］，都有

由于

所以导函数列在［0，1］上不一致收敛.

显然，［0，1］上的函数列｛fn（x）｝的极限函数 f（x）=0 在［0，1］上一致可导.

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