函数列和函数项级数
1.1 函数列和函数项级数的定义
函数列指的是 这样的序列，等价于数列，⽽函数项级数指的是将函数列进⾏累加得到的 ，等价于数项级数。虽然我们⼀般都有等式 ，讨论收敛性，或者是收敛后的分析性质时，描述的东西本质上是⼀样的，但是在处理⽅法上⼤有区别。⽐如说对于函数列的⼀致收敛，我们⼀般⽤ 上界判别法，或者⽤柯西收敛原理。对于函数项级数的⼀致收敛，我们⼀般⽤Dirichlet判别法或者Abel判别法或者柯西收敛原理进⾏判定，如果判定不了，还可以对函数项级数进⾏求和转化成函数列（这点尤为重要）。所以区分函数列和函数项级数是很有必要的。1.2 逐点收敛
应该意识到最重要的事情：逐点收敛是数的收敛，⼀致收敛是函数的收敛。但是即使这么说也要强调，收敛、绝对收敛、条件收敛描述的都是数项级数，也就是说描述的是逐点收敛，⽽不是⼀致收敛。再详细的说，收敛就是逐点收敛，千万不能产⽣概念辨析上的困难。要想学好这⼀章，最重要的就是区分这些概念的辖域。
在逐点收敛中，⾃变量x不再是⼀个⾃变量，⽽是数项级数中⼀个参量，就像 中的p⼀样。对于逐点收敛的处理，其实就是对数项级数的处理，⽅法也是沿⽤数项级数的处理⽅法。在逐项收敛中，有⼀个重要的概念就是和函数，对应的还有和函数的收敛域。注意这两个概念都是逐点性质。
所谓的逐点，就是在⼀开始就给出了⾃变量x的值，⽐如求若要求 ，不能令 ，因为 在n之前取值，所以不能写作n的函数。或者连续，也要在取定 后讨论函数的值。也就是
说，逐点收敛确⽴的 是 ，⽽⼀致收敛确定的是 是⼀个与 ⽆关的值（即x是在N取定后取的）。就好像逐点有界，是说给定 后有 ，⽽⼀致有界就是先给出 ，然后有 。⼀致⽐逐点的条件更强，是整体的性质。 不仅是逐点收敛，连续、可导都是逐点性质。
注意，我们在讨论函数项级数的收敛域时，这⾥的收敛指的是绝对收敛，⽤的⽅法是根值判别法或者⽐值判别法。好像没有讨论过条件收敛。
1.3 ⼀致收敛
1.3.1 函数列⼀致收敛的判别法
最主要的⽅法是 上界判别法，它说的是当和函数与函数序列的差值的上界是⼀个⽆穷⼩量时，则函数列⼀致收敛。注意这⾥的差值不是⼀个数，⽽是⼀个以x为⾃变量的函数，⼀个函数是⼀个⽆穷⼩量，
这说明他的最⼤值是⼀个⽆穷⼩量，所以在解题的时候⼀般求函数的极⼤值，然后证明他趋于零，如果条件松的话，也可以进⾏放缩，获得的则不是上确界，⽽只是上界。最终的结果是诞⽣⼀个不含x，只含n的式⼦。
uc3907
相反，如果证明函数列不⼀致收敛，只需要证明在收敛域⾥存在⼀个x的取值，使得此时的函数值不趋于零即可，这⾥⼀般利⽤x把n⼀起消掉，剩下的是⼀个不为0的常数为最佳。
上界判别法的预处理是求出和函数，要注意，和函数是逐点定义的，所以x是不能表⽰为n的函数的，因为x在n前被定义，x就是个参数，所以和函数很好求。
还有⼀种办法是柯西收敛原理，但是见得较少，就不在此赘述了。白栋材
1.3.2 函数项级数的判别法
写在最前⾯，函数项级数有⼀个最容易被忽略的⽅法就是直接对他求和，转换成函数列，然后⽤ 上界判别法，有些已经裂好项了，或者显然可以求和（⽐如⾃变量x呈现等⽐级数的形式），就没必要在函数项级数这⾥浪费时间了。
{S (x )}n {u (x )}n u (x )∑n S (x )=n u (x )∑n
k βn p 1
S (x )=n n xe α−nx
S (x )x =n 1x x =x 0N N (x )0N x 0x 0f (x )<n 0=M (x )0M f (x )<n =M βββ
grf函数项级数的判别法有优级数判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，这⾥就不⼀⼀赘述了。但是有⼀点，就是Dirichlet判别法、Abel判别法只能对待写成乘积形式的函数项级数，所以⽐如 这种结构，就没有办法⽤这两个判别法了，那么只能⽤优级数了，但是优级数必须要进⾏放缩，有的时候会与内闭⼀致收敛联合考察。
对于判断不⼀致收敛的⽅法，函数项级数的⽅法要⽐函数列多很多，从这个⾓度看，在判断不收敛时，也可以将函数列转换成函数项级数，虽然没有见过，但不失为⼀种思路。
判断⼀致收敛有两个必要条件，⼀个是函数项必须趋于零（注意这⾥⽤的还是 上界判别法，只不过这⾥判别的就是 ，⽽不再是 ），另⼀个是开区间上连续函数项级数的⼀致收敛，必须保证区间端点也必须收敛，利⽤这两个性质，当这两条没有被满⾜时，那么就⼀定是不⼀致收敛的。
另外，柯西收敛原理在判断不⼀致收敛时也有较好的应⽤。
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⼆、函数列和函数项级数的分析性质
2.1 总论
条件的强弱和互推，成了这章的主旋律。⾸先要明确，分析性质不像上⼀章的收敛性质，这⼀章的结论对于函数项级数和函数列基本上呈现对偶的特征，没有哪个定理是只有函数项级数有⽽函数列没有的。其次，要时刻谨记逐点和⼀致的差异，⼀致是强条件，有些结论⽐如连续是逐点的，所以推导起来会很容易，但是如果结论也是⼀致的，那么推导起来就较难，如果不能区分两者，会觉得推导时⽽严谨，时⽽宽松，是极其有害的。最后，要关注条件的互推，这⼀章基本上是没有充要条件的，所以那些⾃以为是的想法可以放⼀放了。
2.2 内闭⼀致收敛
内闭⼀致收敛很好的体现了我在总论中陈述的第⼆点，即⼀致的条件过于强，有的时候我们达不到这样强的条件，但是因为要证明的性质是逐点的，所以我们也不需要那么强的条件，我们可以得到⼀个相较于闭区间⼀致收敛较弱的条件，即开区间内闭⼀致收敛，就可以完成对闭区间逐点性质（⼀般是连续）成⽴的推导的。
内闭⼀致收敛描述的是这样⼀种现象：函数列在闭区间上不⼀致收敛，但是在开区间上⼀致收敛，那么对应的闭区间逐点性质可以得到满⾜。
在这⾥还是要进⾏⼀个区分，内闭⼀致收敛是对于函数列⽽⾔的，对于函数项级数来说，⼀般是没有内闭⼀致收敛概念的。这是因为函数项级数的⼀致收敛有性质：当 在 [a,b] 上连续且 在（a,b) 上⼀
致连续时，则 在[a,b] 上⼀致连续，所以基本上⽤不到内闭⼀致收敛的性质。
对于经典的证明题⽬，我们有如下推导链条：
开区间⼀致收敛 内闭⼀致收敛 闭区间连续 闭区间⼀致连续
2.3 连续
当 连续且⼀致收敛的时候，则他们的和函数连续，可以被概括为：
但是仍需要注意的是，当和函数连续的时候，并不能说明 ⼀致收敛，即只是充分条件，如果想要推出这个结论，需要补充条件，即Dini定理：
设 在闭区间上连续，且逐点收敛到，若对于任意给定的 都有 单调，则⼀致收敛到。
2.4 可积
当闭区间连续且⼀致收敛的时候，则他们的和函数可积。
潘广田注意这个也是充分条件。
2.5 可导
大明混一图
(+∑n 1x )n βu (x )n S (x )n u (x )n u (x )∑n u (x )∑n →→→S (x ),u (x )n n u (x )=x →x 0lim n =1∑∞
n u (x )
n =1∑∞x →x 0lim n S (x ),u (x )n ∑n S (x )n S (x )x 0S (x )n 0S (x )n S (x )S (x ),u (x )n n
可导有三个条件，分别是：（1）导函数闭区间连续（2）导函数闭区间⼀致收敛（3）存在 使得函数（注意这⾥不是导函数）收敛。 因为可导也是逐点性质，所以推导时⼤量使⽤内闭⼀致收敛。
注意即使可导的条件较强，这个定理依然是充分条件。
3.1 总论
可以说前⾯的所有知识都是为了这⼀章进⾏铺垫的，我们的最终⽬的就是将⼀个不好分析的函数⽤⼀个幂级数去逼近，进⽽分析这个好分析的幂级数。那么就会产⽣如下三个问题：怎么能逼近？逼近就能代表吗？幂级数为什么好分析？分别对应（1）函数的幂级数展开（2）幂级数的收敛性质（3）幂级数的分析性质。我们前⾯分析的各种⼀般化的概念和性质，都是在为这个特例服务的。
3.2 幂级数的收敛性质
3.2.1 收敛半径
收敛半径其实就是收敛域概念的⼀个延展，所以重中之重是意识到收敛半径的收敛是说的逐点收敛，⽽不是⼀致收敛，如果不把这个搞清楚，那么在概念的辨析上会存在很⼤的障碍。
求收敛半径的⽅法就是根值和⽐值两种⽅法，属于幂级数独有的⽅法，就是只判断x项前⾯的系数就可以了。但是如果不⾏的话，⽐如出现缺项的情况，那么幂级数的判别⽅法就不能使了，但是还是可以使⽤数项级数的判别⽅法的，就是带着x项进⾏判别。
3.2.2 幂级数的⼀致收敛
幂级数的⼀致收敛性质由两条组成：
第⼀条：幂级数在收敛域内内闭⼀致收敛。⽤的是优级数判别法进⾏的证明。
第⼆条：Abel第⼆定理，当幂级数在 处逐点收敛时，则幂级数在 [0,R] 上⼀致收敛，若幂级数在 处逐点收敛时，则幂级数在 [-R,0] 上⼀致收敛。⽤的是Abel判别法进⾏的证明。
PS：Abel定理是描述幂级数逐点收敛性质的定理，是收敛半径概念的基⽯。
3.3 幂级数的分析性质
3.3.1 连续
设幂级数的收敛半径为R，则幂级数的和函数在（-R，R）连续，若还有幂级数在 x=R （或x=-R）处收敛，则和函数在 x=R （或x=-R）处左（右）连续。
3.3.2 可积
幂级数在收敛域内任何⼀点都由0到这⼀点进⾏积分，积分后得到的幂级数的收敛域在端点处的收敛性可能会“变好”，从不收敛变为收敛，但不会变坏“变坏”。
3.3.3 可导
幂级数在收敛域内任何⼀点都有任意阶导数，求导后的幂级数的收敛性可能会变坏，不会变好。
3.4 幂级数展开
3.4.1 ⾯对的两个问题
很容易想到，只要 有任意阶导函数，就可以利⽤泰勒公式⽣成⼀个幂级数，我们称它为泰勒级数。但是问题在于，泰勒级数是否必在⼀个开区间上收敛？如果收敛的话，是否会收敛到 ？我们说这两件事都不是⼀定的，⽽是需要条件的。
3.4.2 两个条件
x 0x =R x =−R f (x )f (x )
有⼀个充要条件为
由此，可以得到⼀个充分条件，即
书中是没有 的表述的，但我想说的是引⼊ 可以强调这是⼀个函数，⽽不是⼀个数。
3.4.3 获得复杂的幂级数
复杂的原因⼤部分是出在求导，⼀个分式或者⼀个乘式都是很难求导的。对于分式⽽⾔，如果能裂项，就⼀定要裂项，对于乘式⽽⾔，要应⽤柯西乘积（柯西乘积只要在两者都是绝对收敛的时候才可以成⽴，幂级数刚好有这个性质）。
3.4.4 幂级数的应⽤
⼤部分⽤来求数项级数的和，如果这个数项级数⾥⾯有阶乘， ， 这种结构，⼤概就是要⽤幂级数来求了。R (x )=n f (x )−(x −k =0∑n
k !f (x )
(k )0x )0k β=n →∞lim n sup {R }=n →∞lim n 0
∀n ,β=n sup {f (x )}<(k )=M
ββn (n +1)2n
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