2003南开大学年数学分析
一、婚姻挤压设其中有二阶连续偏导数，求
解：令u=x+y,v=x-y,z=x则；
二、设数列非负单增且，证明
解：因为an非负单增，故有
三、设试确定文心雕龙物的取值范围，使f(x)分别满足：
（2）f(x)在x=0连续
（3）f(x)在x=0可导
解：（1）因为
==极限存在则2+知
(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则
（3）所以要使f(x)在0可导则
四、设f(x)在R连续，证明积分与积分路径无关
解；令U=则=又f(x)在R上连续故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=
所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路）
五、设f(x)在[a,b]上可导，且,证明
证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在即有六、设单减而且收敛于0。发散
a)证明
b)证明其中；
证：（1）因为而钒矿单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
（2）因为正项级数发散则又由上题知故有
七、设 证明
一什么小山
（1）在一致收敛
（2） 在连续
证：（1）因收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又在x>=1,t>=0 单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛
（2）由上题知，F（t）在一致收敛，且由在（x,t）上连续知F（t）在连续所以在连续，由的任意性得证 八、令是[a,b]上定义的函数列，满足
（1）对任意是一个有界数列
（2）对任意，存在一个求证存在一个子序列在[a,b]上一致收敛
证：对任意，是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为，又令U=则U为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为
于是对>0，有令则由条件（2）知对上述
于是
++由柯西准则得证。
2004年南开大学数学分析试题答案
1.
2.昂立口译 ,
=
设，，
，，证完。
4.===
5.设P=，Q=，，积分与路径无关，则
6. ,又当时，收敛，当时，级数发散，原题得证
7.由拉格朗日定理，，其中，原题得证
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