函数是数学的核⼼概念之⼀，围绕函数发展起来了许多重要的数学理论，⽽调和函数就是这样⼀类常见⽽重要的函数，它出现在数学的⽅⽅⾯⾯，在物理中也有重要应⽤，可以说，调和函数既是重要的研究对象，更是强⼤的数学⼯具。今天我们就简单地介绍⼀下调和函数，以此窥探数学的奥妙。
我们很难追溯调和函数的具体起源，但起码在19世纪，调和函数已经是重要且被⼴泛应⽤的数学概念。那么何谓调和函数呢？⾸先我们要定义拉普拉斯算⼦：
拉普拉斯算⼦的作⽤就是对不同的⾃变量求⼆阶偏导数，然后相加得到⼀个关于偏导数的函数，⽽调和函数就是那些经过拉普拉斯算⼦作⽤后等于零的函数，也就是满⾜下列条件的函数：
值得注意的是，定义调和函数前，我们要求这个函数起码是在R^n中某区域(也可以是实数空间R^n本⾝)上存在⼆阶偏导数的，⽽且往往也要要求n⼤于等于2。
那么我们为什么要研究调和函数？简⽽⾔之是因为它的性质实在是太好了，可以拿来做很多事。怡升科技
调和函数的第⼀个惊⼈性质是它的解析性，也就是说，调和函数在定义域内每⼀点是可以进⾏⽆穷次泰勒展开的，这就意味着调和函数是光滑的，或者说⽆穷次可导的。为什么说这个性质好呢？注意到，定义调和函数时我们仅仅要求它存在⼆阶偏导数，但实际上这样的定义只⽤极少的要求就保证了函数的光
滑性，可谓化腐朽为神奇。
但解析性并⾮调和函数的本质特征，实际上，调和函数的最本质的性质是满⾜所谓的平均值原理。⽽且为了获得调和函数更好的性质，⼀般我们会在有界区域中考虑这些问题，还会要求函数具有连续或可导的边值。那么，什么是平均值原理呢？简单来说，就是函数u在⼀点x的值等于函数在以x为中⼼的球区域中体积积分或⾯积积分的平均值(通过简单的积分计算可以证明，这两种积分平均值是等价的)： 为什么说平均值原理是调和函数最本质的特征呢，这是因为调和函数⼏乎所有的重要性质都可以从平均值原理推导出来，例如上⾯说过的解析性。⽽且更重要的是，平均值性质完全刻画了调和函数，这就是如下的结论：
调和函数的另⼀个重要性质是极值原理：
调和函数如果不是常数，那么它不能在内部取到极⼤值或极⼩值。
由极值原理，我们⽴即可以获知，调和函数由其边值唯完全决定：
如果我们从更⾼的⾓度来看调和函数，也就是将定义△u=0看成是⼀个偏微分⽅程(准确来说是⼀个拉普拉斯⽅程)，那么调和函数就是这个⽅程的解，⽽极值原理就告诉我们，在给定边值的情况下，解是
唯⼀的。实际上，如果区域⾜够特殊(⼀般来说是球)的话，我们是可以通过边值条件直接得到这个解的，⽽这⼜要涉及到泊松积分，泊松积分⼜要联系着格林函数。
格林函数起源于物理中的场论，具体定义我们就不多说了，但它的作⽤就是拿来表⽰这种带有边值的⽅程的解。实际上，利⽤格林函数和拉普拉斯⽅程的基本解，我们得到调和函数的格林表⽰：
由于被积函数是光滑的，从格林表⽰我们再次获得了调和函数的光滑性。当区域是⼀个球时，由于区域特殊，我们可以利⽤⼏何中反演的⽅法得到相应格林函数的表达式，因⽽直接通过边环境公益诉讼制度
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值求解调和函数成为可能，这也就有了带有边值的调和函数的泊松积分表达式：
除此之外，调和函数还有⼀个⾮常好的性质，这就是调和函数序列良好的收敛性质。在学习数学分析的时候，级数和函数序列的收敛性是我们⾮常关注的概念，因为良好的收敛性可以保证极限函数也具有⼀些好的性质。⽽从之前我们所说过的平均值原理可以发现，调和函数序列恰恰拥有某些良好的收敛性：中小投资
⼀致收敛的调和函数序列的极限函数也是调和的。
进⼀步还可以证明：
从上⾯我们所讲述的东西我们可以看见，调和函数的确拥有众多其他函数所不具备的良好性质，因⽽调和函数成为了许多数学学科中常⽤的⼯具，例如我们说过的偏微分⽅程理论，数学物理⽅法等。不仅如此，“调和”这个概念也早已不再局限于实数空间上的函数，它可以轻松被推⼴到微分流形上，⽤来定义和研究流形上的调和函数。不仅如此，“调和”还可以⽤到更⼀般的微分形式上，由此与著名的“霍奇理论”产⽣了深刻地关联。当然，调和函数及其推⼴的应⽤完全不⽌说过的这些，但可以肯定是，它的确在数学中扮演着⼗分重要的⾓⾊。
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