2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
定理13.8：设函数列{fn}在(x,x0)∪(x0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n， fn(x)=an，则an大气压力和f(x)均存在且相等.
证：∀ε>0，∵{fn}一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N和任意自然数p，
对一切x∈(x,x0)∪(x0,b)有，|fn(x)-fn+p(x)|< ε，
∴|an-an+p|=|fn(x)-fn+p(x)|≤ε，∴{an}是收敛数列. 设an=A，
则∀ε>0，∃N>0，当n>N时，对一切x∈(x,x0)∪(x0,b)同时有，
|fn(x)-f(x)|<和|an-A|<. 特别取n=N+1，有
|fN+1(x)-f(x)|<和|aN+1-A|<. 又fN+1(x)=aN+1，∴∃δ>0，
当0<|x-x0|<δ时，|fN+1(x)-aN+1|<，从而当x满足0<|x-x0|<δ时，有
|f(x)-A|≤|fN+1(x)-f(x)|+|fN+1(x)-aN+1|+|aN+1-A|<++=ε，
即f(x)=A，得证！
注：定理13.8指出：fn(x)=fn(x).
定理13.9：(连续性)若函数列{fn}在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续.
证：设x0为I上任一点，∵fn(x)=fn(x0)，由定理13.8知，
f(x)存在，且f(x)=fn(x0)=f(x0)，∴f(x)在I上连续.
注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛. 如：
函数列{xn}各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=
在x=1时不连续，所以{xn}在(-1,1]上不一致收敛.
推论：若连续函数列{fn}在区间I上内闭一致收敛于f，则f在I上连续.
定理13.10：(可积性)若函数列{fn}在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则fn(x)dx=dx.
证：设f是{fn}在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f在[a,b]上连续，
∴fn (n=1,2,…)与f在[a,b]上都可积. ∵药用辅料
标准在[a,b]上fn(x)⇉f(x) (n→∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N时，对一切x∈[a,b]都有|fn(x)-f(x)|<ε.
根据定积分的性质，当n>N时，有
=≤≤ε(b-a).
∴dx==fn(x)dx. 得证！
例1：举例说明当{fn(x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如fn(x)=, n=1,2,….
其图像如图：{fn(x)}是[0,1]上的连续函数列，
伽倻琴
且∀x∈[0,1]，fn(x)=0=f(x). 又|fn(x)-f(x)|=an，
∴{fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：an=0.
∵dx=，∴dx→dx=0的充要条件是：=0.
当an≡1时，{fn(x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立.
而当an=n时，{fn(x)}不一致收敛于f(x)，
且dx≡不一致收敛于dx=0.
定理13.11：(可微性)设{fn}为定义在[a,b]上的函数列，若x0∈[a,b]为{fn}的收敛点，{fn}的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f’n}在[a,b]上一致收敛，则=.
证：设=A，f’n⇉g (n→∞), x∈[a,b]，则对任一x∈[a,b]，总有
fn(x)=fn(x0)+dt. 两边对n→∞取极限得：=A+dt，
又=f(x)，∴f(x)=A+dt. 两边微分得证！
推论：设函数列{fn}定义在区间I上的，若x0∈I为{fn}的收敛点，且{f’n}在I上内闭一致收敛，则f在I上可导，且f’(x)=.
例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件.
解：如函数列fn(x)= ln(1+n2x2)及f’n(x)=, n=1,2,…
在[0,1]上都收敛于0，即fn(x)=f’n(x)=0，
∴在[0,1]上，f’n(x)=(fn三部门明确防卫过当认定标准(x))’成立.
又由|f’n(x)-f’(x)|==, 知
导函数列{f’n(x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有
|f’n(x)-f’(x)|=≤→0 (n→∞),
∴{f’n}在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，f’n(x)=(fn(x))’成立.
定理13.12：(连续性)若函数项级数在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：
=.
证：设x0为[a,b]上任意一点，在区间[a,b]上一致收敛于S(x).
则∀ε>0，∃N>0，当n>N时，对一切x∈[a,b]，有
|S(x)-Sn(x)|<, |Sn(x0)-S(x0)|<, 又un(x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)，
∴对取定的n>N，Sn(x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0，
当x∈[a,b]，且|x-x0|<δ时，|Sn(x)-Sn(x0)|< ，
∴当x∈[a,b]时，|S(x)-S(x0她来自台北)|=|S(x)-Sn(x)+Sn(x)-Sn(x0)+Sn(x0)-S(x0)|
≤|S(x)-Sn(x)|+|Sn(x)-Sn(x0)|+|Sn(x0)-S(x0)|<ε. 即S(x)在x0连续，
从而在[a,b]上连续. 得证！
定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则dx =dx.
定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数在每一项都有连续的导函数，x0∈[a,b]为的收敛点，且在[a,b]上一致收敛，则
=.
贝尔格证：设在[a,b]上一致收敛于S*(x)，∵u’n(x)在[a,b]上连续，
由定理13.12知，S*(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x∈[a,b]，
有dt=dt=dt =-=S(x)-S(a).
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