探索傅里叶级数的一致收敛性,逐项微分性和逐项积分性 在第15章的第1节和第3节分别建立和证明了傅里叶级数的收敛定理(定理15.3): 设是以为周期的周期函数,若在上按段光滑,则对任意,的傅里叶级数在处收敛于过氧化氢碘化钾,即
,
其中
,,()
以此定理为基础,请同学们按照下面的步骤进一步探索傅里叶级数的一致收敛性、逐项微分性和逐项积分性.
一、几个引理
我们知道,若在上按段光滑,【即在上除有限个第一类间断点外连续(此时也称在上按段连续),在iso18000
上除有限个点外可导且在上也除有限个第一类间断点外连续,简单地讲:在上按段光滑也就是和都在上按段连续】,则和都在上可积,并且除上有限个点外,可作为的原函数,于是,根据定积分的定义,当我们进一步要求在上连续的情况下,注意到拉格朗日中值公式,可得 引理1(定积分的牛顿—莱布尼茨公式的推广)若在上连续,且按段光滑,则
.
提示:选择包含使不存在的点为分点的的分割,
由拉格朗日中值公式推出,存在,使
(平角怎么表示),
.
最后,注意到在上可积,利用定积分的定义即可.
引理2(推广的分部积分公式)若,都在上连续,且按段光滑,则
.
提示:首先,注意到由条件可得在上连续,且按段光滑,和都在上可积,且除上的有限个点外,
.
其次,对应用引理1即可.
引理3(与的傅里叶系数的关系)设在上连续,按段光滑,且
(注:根据周期函数的特点,上述条件意味着屈服极限可看成按段光滑且以为周期的连续函数),记,,为的傅里叶系数;,,为的傅里叶系数,则
,,.
提示:直接根据傅里叶系数公式,利用引理1或引理2进行计算即可,例如由引理1
.
除上面的三个引理外,在探索的过程中,还要用到关于傅里叶系数的贝塞尔不等式.
引理4(贝塞尔不等式)设在上可积,记,,为的傅里叶系数,则
级数收敛,且
.
二、傅里叶级数的一致收敛性,逐项积分性和逐项微分性
1、傅里叶级数的一致收敛性
定理1(傅里叶级数的一致收敛性)设是以为周期的连续函数,且在上按段光滑,则的傅里叶级数
在上绝对收敛且一致收敛于,其中,,为的傅里叶系数.
提示:首先,由定理15.3并注意到连续推出收敛于;
其次,由引理3推出
;
最后,注意到引理4以及,由一致收敛的优级数判别法即可.
2、傅里叶级数的逐项积分性
定理2 设是以为周期的函数,且在上按段连续,,记
,
则
(1)是以为周期的连续函数,且在上按段光滑;
(2)记,,为的傅里叶系数,有,();
(3).
提示:(1)首先,由变限函数的连续性易得是连续函数;
其次,由变限函数的导数公式,并注意到在上按段连续可推出在上按段光滑,且除上的有限个点外,;
最后,注意到定积分的区间可加性,周期函数的积分特征和傅里叶系数的计算公式推出
省句中即以为周期.
(2)利用傅里叶系数的计算公式和引理2直接计算即可,例如,
(3)首先,由(1)和(2)可对运用傅里叶级数的收敛定理(定理15.3)推出,
,
其次,取,并注意到即可.
定理3(傅里叶级数的逐项积分)设双轨学制是以为周期的函数,且在上按段连续,记为的傅里叶级数(它不一定收敛,更不一定收敛于),则对任意,有
.
提示:由定理2的(1)和(2)对运用傅里叶级数的收敛定理(定理15.3),并注意到定理2的(3)即可.
3、傅里叶级数的逐项微分性