浅析收敛与一致收敛性Һ岳红云㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）
㊀㊀ʌ摘要ɔ函数项级数是研究函数的重要工具，收敛与一致收敛性是数学分析中函数的重要性质之一，本文主要通过定义和例题浅析函数项级数的收敛与一致收敛性的联系与不同，从而应用函数项级数的一致收敛性，解释和函数与函数项分析性质的一致性问题，举例说明具有重要的实际应用． ʌ关键词ɔ收敛性；一致收敛性；比较；应用
ʌ基金项目ɔ１．河南工业大学２０１９年本科教育教学改革研究与实践项目：基于信息化教学环境下 高等数学Ｂ（二） 课程的混合式教学研究与实践．项目号：ＪＸＹＪ－Ｋ２０１９４５；２．高等学校大学数学教学与研究发展中心２０２０年教学
改革项目：以学为中心的高等数学课程混合式教学模式改革的研究与实践．项目号：ＣＭＣ２０２００２０３．
一㊁引言
在数学分析中，收敛性是函数的重要性质之一，收敛与一致收敛性在数学中的应用极为广泛，函数表达
的一种方法是用函数项级数表示，这种方法是表示非初等函数的重要方法．函数项级数不仅可以表示函数，还是研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，想要通过函数项级数研究它所表示的函数的重要性质：和函数的连续㊁可积和可微性，就不能只考虑其收敛性，还要考虑更强的收敛性 一致收敛性，一致收敛是确保和函数连续的重要条件，同时也是保障和函数可积和可微不可或缺的条件．
下面将从函数项级数的收敛与一致收敛性的定义研究它们的联系与不同．
二㊁收敛与一致收敛性的定义１．函数项级数收敛的定义
若对∀ｘɪＸ，ｌｉｍｎңɕ
Ｓｎ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）成立，
其中Ｓｎ（ｘ）为ðɕ
ｎ＝１
中国粉末冶金网Ｕｎ（ｘ）的前ｎ项和函数，则称函数项
级数ðɕ
ｎ＝１
Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上收敛于Ｓ（ｘ），并称Ｓ（ｘ）为其和
函数．
我们知道，有限个连续函数的和仍为连续函数，对于可导和可积也有类似的性质．如果遇到的是无穷多个函数之和，也就是函数项级数，当函数项级数的每一项在某区间上连续㊁可导㊁可积时，它的和函数在该区间上是否连续㊁可
导㊁可积？那么在什么条件下，才有其和在该区间上连续㊁可导㊁可积？要回答这些问题，需要引入一致收敛．
２．函数项级数一致收敛的定义设函数项级数
ðɕ
ｎ＝１
Ｕｎ
（ｘ）
在区间Ｘ上收敛于和函数
Ｓ（ｘ），前ｎ项和函数为Ｓｎ（ｘ）．如果对任意的ε＞０，有正整数Ｎ＝Ｎε()，满足当ｎ＞Ｎ时，∀ｘɪＸ，有Ｓ（ｘ）－Ｓｎ（ｘ）＜ε，则称函数项级数ðɕ
ｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在区间Ｘ上一致收敛于和函数
Ｓ（ｘ），或称ðɕ
ｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在Ｘ上一致收敛．
注记：函数项级数非一致收敛的定义设函数项级数
ðɕ
ｎ＝１
Ｕ
ｎ
（ｘ）在区间Ｘ上收敛于和函数
Ｓ（ｘ），前ｎ项和函数为Ｓｎ（ｘ）．如果对某个ε０＞０，对于任意正整数Ｎ＝Ｎ（ε），总存在正整数ｎ０满足当ｎ０＞Ｎ时，∃ｘ０ɪＸ，有Ｓ（ｘ０）－Ｓｎ（ｘ０）ȡε０，则称函数项级数ðɕ
ｎ＝１Ｕｎ（ｘ）在
区间Ｘ上非一致收敛．
三㊁例题
例１㊀讨论ðɕ
ｎ＝０
ｘｎ在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上的收敛性与一致
收敛性．
解㊀由题知ðɕ
ｎ＝０ｘｎ是几何级数，公比为ｘ，其前ｎ项和
函数Ｓｎ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ２
＋ ＋ｘ
ｎ－１
＝１－ｘｎ１－ｘ
，则当－１＜ｘ＜１时，ｌｉｍｎңɕ
Ｓｎ（ｘ）＝
１
１－ｘ
，故函数项级数在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上收敛于
１
１－ｘ
．对任给的ε＞０，要使１
１－ｘ
－ðｎ－１
ｋ＝０
ｘｋ＝
江苏地方志ｘｎ
１－ｘ
贺麓成＜ε（－ｒɤｘɤｒ（０＜ｒ＜１）），只要ｒｎ１－ｒ＜ε，即只要ｎ＞ｌｎ（１－ｒ）εｌｎｒ
，故可取Ｎ＝
ｌｎ（１－ｒ）ε
ｌｎｒ
[
]
，则对任给的ε＞０，当ｎ＞Ｎ时，Ｎ为正整数，
－ｒɤｘɤｒ（０＜ｒ＜１）时，有
１
１－ｘ
－ðｎ－１
ｋ＝０
ｘ
ｋ
＜ε，
㊀㊀㊀１５７
㊀㊀根据定义，得级数ðɕ
ｎ＝０
ｘｎ在［－ｒ，ｒ］上一致收敛于
１１－ｘ
．例２㊀讨论ðɕｎ＝０
ｘｎ在（－１，１）上的收敛性与一致收敛性．解㊀由等比级数的求和公式及函数项级数收敛性的定义可知，函数项级数ðɕ
ｎ＝０
ｘｎ
在（－１，１）上收敛于１
１－ｘ．
取ε０＝１
ｅ
，对任意的正整数Ｎ，总存在ｎ０＝Ｎ＋１＞Ｎ及ｘ０＝
Ｎ
Ｎ＋１ɪ（－１，１），总有１
１－ｘ０
－
ðｎ０－１
ｋ＝０
ｘ
ｋ
＝
｜ｘ０｜
ｎ０
洪昭光现状１－ｘ０
＝
Ｎ１＋１Ｎ
(
)
Ｎ
＞ε０
成立，由定义可知，ðɕ
ｎ＝０
ｘｎ
在（－１，１）上非一致收敛．
注记：①通过上例可以发现，函数项级数ðɕ
ｎ＝０
ｘｎ在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上一致收敛，而在（－１，１）上却非一致收敛，原因是在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）之外的（－１，１）上不到通用的自然数Ｎ，使得函数项级数与其和函数的距离可以任意小，从而函数项级数在此区间上非一致收敛．
②利用定义判定一致收敛性时，需要求出和函数，如果
新课程理论和函数不易求得，此时要判别函数项级数在某区间上的一致收敛性就需要根据函数项级数自身的特点，换用其他方法，比如柯西一致收敛准则㊁维尔斯塔拉斯判别法等．
四㊁结论
通过收敛与一致收敛的定义和例题可以发现，函数项级数ðɕ
ｎ＝０ｘｎ在（－１，１）上收敛，而在（－１，１）上非一致收敛，
原因就是逐点收敛与均匀收敛的差别：函数项级数在（－１，１）上每一点处与某个常数的距离都可以任意小，所以每一点都是收敛的，而在（－１，１）上不到通用的自然数Ｎ，使得在区间（－１，１）上每一点处函数项级数与其和函数的距离可以任意小（尽管它在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）上是一致收敛的，但在［－ｒ，ｒ］（０＜ｒ＜１）之外的（－１，１）上不到通用的自然数Ｎ），也就是不存在共同的收敛速度，从而函数项级数在区间（－１，１）上非一致收敛．这说明虽然同为收敛，但一致收敛的要求更高，它要求级数在某个范围内有共同的㊁一致的收敛速度．
所以对函数项级数来说，收敛只要求对其定义域内的某一个点，函数项级数的部分和与和函数从某个正整数开始，以后的各项是无限接近的，在不同收敛点选取的正整数可以不相同，也就是收敛速度可以不同，所以收敛点与收敛点之间没有必然的联系，此时收敛性只是数列的收敛性，不涉及函数的分析性质，所以在收敛的条件下，函数项的性质
与其和函数的性质之间没有必然的联系；一致收敛是指函数项级数在某个范围内有共同的收敛速度，收敛点与收敛点之间相互关联㊁相互制约，保证收敛速度的一致性是函数项级数在一个区间上收敛的整体体现，涉及函数的分析性质，所以在一致收敛的条件下，考查函数项性质与其和函数性质之间的
关系时，就会得到 如果函数项级数在某个点集上一致收敛，并且函数项各项在点集上连续，那么和函数也在该点集上连续 的结论，所以在较高的一致收敛条件下，应用函数项级数的一致收敛性就可以利用函数项的性质得
到和函数的分析性质．
五㊁应用
应用函数项级数的一致收敛性，可以研究和函数的连续性，比如，说明函数ｆ（ｘ）＝
ð
ɕ
ｎ＝１
１ｎ２
ｅ－ｘ２
ｎ２在［０，＋ɕ）上连续时，根据函数项级数的每一项都在［０，＋ɕ）上连续，函数项级数又在［
０，＋ɕ）上一致收敛，所以和函数就在［０，＋ɕ）上连续．
应用函数项级数的一致收敛性，还可以求幂级数的和函数，从而可以产生很多应用，比如近似计算函数值㊁定义初等超越函数，还是表示非初等函数的重要方法．
例如，函数ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘ２
在Ｒ上连续，它在Ｒ上存在原函数，但它的原函数是非初等函数，所以无法表示成有限形式，又因为函数可以展开成幂级数，所以它的原函数就可以表示为幂级数的和函数．
ｅ
－ｘ２
＝１－ｘ２１！＋ｘ４２！－ ＋（－１）ｎｘ２ｎ
ｎ！
＋ ＝ðɕ
ｎ＝０
（－１）ｎ
ｘ２ｎ
ｎ！，因为它在任意闭区间上都一致收敛，于是，∀ｘɪＲ，它的原函数可表示为
Ｆ（ｘ）＝
ʏｘ０ｅ
－ｔ２
ｄｔ
＝ʏｘ０ðɕ
ｎ＝０
（－１）ｎ
ｔ２ｎ
ｎ！{
}ｄｔ
＝
ðɕ
ｎ＝０（－１）
ｎ
ʏ
ｘ
０
RANA NIGROMACULATAｔ２ｎ
ｎ！
ｄｔ＝ðɕ
ｎ＝０
（－１）ｎ
ｘ２ｎ＋１
ｎ！（２ｎ＋１）．
ʌ参考文献ɔ
［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第三版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．
［２］段会卿．函数项级数一致收敛的几个判别法［Ｊ］．科技资讯，２０１１（１８）：１７６．
［３］武忠祥．工科数学分析基础教学辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６，９．
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