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IIR滤波器设计之冲激响应不变法与双线性变换法

前⾔

IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器是指⽆限长冲激响应数字滤波器，因其具有良好的幅频响应特性，被⼴泛应⽤于通信、控制、⽣物医学、振动分析、雷达和声呐等领域。

IIR滤波器的设计可以通过设计⼀个模拟滤波器，进⽽利⽤冲激响应不变法或者双线性变换法来进⾏数字滤波器的设计。

注意：本博⽂中部分图⽚来源于慕课视频的截图，课程是北京航空航天⼤学的数字信号处理。

⼀、冲激响应不变法

h[n]与h(t)之间的关系可根据采样过程推导，如图1所⽰：

图1 对h(t)进⾏采样的过程

对式(1)做拉普拉斯变换得：

h[n]的Z变换为：

对⽐式(2)和式(3)可知，H(s)与H(z)的转换关系为：

w与Ω的转换关系为：

⼆、双线性变换法

双线性变换即经过了两次线性变换，第⼀次是将Ω从正⽆穷⼤变换到π/T，负⽆穷⼤变换到-π/T；第⼆次是将S域的左半平⾯映射到Z域的单位圆内。双线性变换过程如图2所⽰。

图2 双线性变换过程

金属化膜

H(s)与H(z)的转换关系为：

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w与Ω的转换关系为：

三、MATLAB代码

Wp = 0.30 * pi/T; % 设置归⼀化通带和阻带截⽌频率

Ws = 0.35 * pi/T;

Ap = 20 * log10(1/0.8); % 设置通带最⼤衰减和阻带最⼩衰减

As = 20 * log10(1/0.18);

% 调⽤buttord函数确定巴特沃斯滤波器阶数

[N ,Wc] = buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');

% 调⽤butter函数设计巴特沃斯滤波器

[B ,A] = butter(N,Wc,'s');

W = linspace(0,pi,400*pi); % 指定⼀段频率值

% 计算模拟滤波器的幅频响应

Hs = freqs(B,A,W);

% 调⽤冲击响应不变法

[Bz,Az] = impinvar(B,A,fs);

% 返回频率响应中华全国慈善总会

Hz = freqz(Bz,Az,W);

%% 画图

figure;

subplot(1,2,1);

plot(W/pi,abs(Hs)/abs(Hs(1))); % 绘制巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性曲线

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');title('巴特沃斯模拟滤波器');grid on;

subplot(1,2,2);

plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1))); % 绘制巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');title('巴特沃斯数字滤波器');grid on;

图3 巴特沃斯低通滤波器

wp = [0.30*pi,0.75*pi];

ws = [0.35*pi,0.65*pi];

Wp = (2/T)*tan(wp/2); % 设置归⼀化通带和阻带截⽌频率

Ws = (2/T)*tan(ws/2);

Ap = 20 * log10(1/0.8); % 设置通带最⼤衰减和阻带最⼩衰减

As = 20 * log10(1/0.18);

农业天地% 调⽤buttord函数确定巴特沃斯滤波器阶数

[N ,Wc] = buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');

% 调⽤butter函数设计巴特沃斯滤波器

[B ,A] = butter(N,Wc,'stop','s');

四川得阳特种新材料有限公司

W = linspace(0,pi,400*pi); % 指定⼀段频率值

% 计算模拟滤波器的幅频响应

Hs = freqs(B,A,W);

% 调⽤双线性变换法

[Bz,Az] = bilinear(B,A,fs);

% 返回频率响应

Hz = freqz(Bz,Az,W);

%% 画图

figure;

subplot(1,2,1);

plot(W/pi,abs(Hs)); % 绘制巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性曲线

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');title('巴特沃斯模拟滤波器');grid on;

subplot(1,2,2);

plot(W/pi,abs(Hz)); % 绘制巴特沃斯数字带阻滤波器的幅频特性曲线

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');title('巴特沃斯数字滤波器');grid on;

图4 巴特沃斯带阻滤波器

总结

冲激响应不变法的优缺点

优点：1）完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，即时域逼近良好；2）线性相位的模拟滤波器通过冲激响应不变法得到的仍为线性相位的数字滤波器。

缺点：频率响应的混叠效应。

双线性变换法的优缺点

七七事变论文优点：避免了频率响应的混叠效应。

缺点：1）不再保持原有的线性相位，呈分段常数型；2）各个分段边缘的临界频率点产⽣了畸变。

图 5 IIR数字滤波器的设计流程

⾸先，根据待设计数字滤波器的幅频响应，转换为模拟滤波器的幅频响应，然后到⼀个连续系统滤波器的频率响应H(jΩ)满⾜待设计数字滤波器的幅频响应，进⽽到满⾜该幅频响应的连续系统的系统函数H(s)，根据推导得到的H(s)与H(z)的转换表达式，得到H(z)，即离散系统的系统函数。

本文发布于:2024-09-21 00:47:56，感谢您对本站的认可！

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